Решение задачи 442

by Никита
Решение задачи 442

Условие:

Решите в целых числах уравнение: 3x²+3y²+3z²+2x+2y+2z=28071996.


Решение:

Добавим тройку к обеим частям равенства. Уравнение примет такой вид:

2x²+2y²+2z²+(x+1)²+(y+1)²+(z+1)²=28071999.

Теперь посмотрим какие остатки при делении на 8 может давать выражение 2x²+(x+1)², для этого составим таблицу:

Значит выражение 2x²+(x+1)² может давать остатки 1, 2 и −1. Аналогичные остатки дают выражения 2y²+(y+1)² и 2z²+(z+1)². Число 28071999 дает остаток −1 при делении на 8 (потому что 1000 делится на 8). Нетрудно видеть, что из чисел 1, 2, −2 нельзя выбрать три так (возможно, с повторениями), чтобы сумма равнялась −1 или 7.

Ответ: Решений нет.

November 13, 2018
by Никита