Решение задачи 413

Условие:

На новогоднюю ёлку отправились 30 учеников. Они построились парами так, что ровно половина всех девочек оказалась в парах с мальчиками. Докажите, что их не удастся перестроить так, чтобы ровно половина всех мальчиков оказалась в парах с девочками.

Решение:

Из условия следует, что девочек четное число. Одна половина девочек стоит в парах с мальчиками. Значит другая половина девочек разбилась на пары между собой. Получается, половина количества девочек делится на 2, значит общее число девочек делится на 4.

Пусть мы перестроили учеников так, что половина мальчиков оказалась паре с девочками. Тогда, рассуждая аналогично, получаем, что число мальчиков кратно четырем. Но сумма двух чисел, кратных четырем, не может равняться 30, противоречие.