Решение задачи 478

Условие:

Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвёртое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием?

Решение:

Какие условия должны быть наложены на эти семь чисел, чтобы по четвертому числу все остальные восстанавливались однозначно? Пусть даны семь различных натуральных чисел, сумма которых равна 100. Если мы увеличим самое большое из них на 1, а самое маленькое уменьшим на 1, то сумма так же будет равна 100, но набор будет другим. Значит, самое маленькое число обязано равняться единице. Аналогично, второе и третье числа должны равняться 2 и 3 соответственно.

Пятое число не может быть больше, чем (четвертое + 1), потому что его можно уменьшить на 1, а самое большое увеличить на 1, тогда сумма останется равна 100, а набор будет другим. Значит, пятое число = (четвертое + 1). Аналогичными рассуждениями получаем, что шестое = (четвертое + 2). Посмотрим, что будет, если взять седьмое равное (четвертое + 3).

Итак, мы имеем числа 1, 2, 3, n, n + 1, n + 2, n + 3 и их сумма равна 100. Нам повезло! Такое n существует и оно равно 22. Пусть первый мудрец сообщил второму число 22. Минимально возможные первые три числа это 1, 2, 3, а последние три числа это 23, 24, 25. Сумма всех семи как раз будет равняться 100, значит, по-другому восстановить набор нельзя.

Нетрудно показать, что 22 — единственное решение.

Ответ: Да, первый мудрец должен назвать число 22.

Источник: ММО 2019, 9.1.