Решение задачи 415

Условие:

Существует ли многочлен P(x) такой, что P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=4, P(5)=5, а его значения при всех остальных натуральных x – иррациональны?

Решение:

Пример есть. Давайте искать его в виде sqrt(2)*A(x)+B(x), где A(x) зануляется на числах 1, ..., 5, а в остальных натуральных принимает рациональные значения. От В потребуем, чтобы он на 1, ..., 5 выдавал их же, а на остальных натуральных — рациональные. Этих условий будет достаточно.

Нетрудно видеть, что подойдут многочлены А(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5), B(x)=x. Действительно, тогда P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=4, P(5)=5. При n>5: P(n)=sqrt(2)*n!/(n-6)!+n — иррациональное число.

Ответ: Существует.