Решение задачи 477

Условие:

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.


Решение:

Покрасим каждую грань в шахматном порядке в черный и белый цвета так, чтобы на каждой грани было 41 черная клетка и 40 черных клеток. Тогда каждая не согнутая полоска накрывает клетки разных цветов, а каждая согнутая полоска накрывает клетки одного цвета. На всем кубе черных клеток на 6 больше, чем белых, значит, черных согнутых полосок на 3 больше, чем белых согнутых полосок. Значит, количества черных и белых согнутых полосок разной четности, следовательно, всего согнутых полосок нечетное число.