Решение задачи 458

Условие:

Даня отметил на плоскости 100 точек, никакие три не лежат на одной прямой, и провел все возможные отрезки с концами в этих точках. Артем нарисовал прямую, которая не проходит через данные точки. Могло ли оказаться, что эта прямая пересекает ровно треть из отрезков, нарисованных Даней?

Решение:

Прямая Артема делит плоскость на две части. Через А обозначим множество точек, лежащих с одной стороны от прямой, через В — множество точек, лежащих с другой стороны. Нетрудно заметить, что прямая Артема пересечет те и только те отрезки, у которых один конец принадлежит множеству А, а другой — множеству В. Пусть в множества А всего n точек, тогда в множестве В — 100−n точек. Получается, прямая Артема пересекает n(100−n) отрезков. В условии спрашивается может ли прямая пересечь ровно 100*99/2/3 = 1650 отрезков.

Рассмотрим функцию f(x) = x(100−x). Она представляет собой параболу, у которой ветви направлены вниз, вершина в точке x=50. Функция f симметрична относительно прямой x=50, другими словами f(x) = f(100−x). Заметим, что f(20) = 20*80 = 1600, но f(21) = 21*79 = 1659. Значит, функция f ни при каком натуральном n не принимает значение 1650. Получается, прямая не могла пересечь ровно треть отрезков.

Ответ: Нет.