Решение задачи 476

Условие:

Докажите, что существует бесконечно много троек натуральных чисел (m, n, k), таких, что m, n, k > 1 и m! ⋅ n! = k!.


Решение:

Возьмем m = (p! − 1), n = p, k = p! (p > 2). Тогда m! ⋅ n! = (p! − 1)! ⋅ p! = (p!)! = k!. Так как p пробегает бесконечно много значений, то нужных троек действительно бесконечно много.