Решение задачи 428

Условие:

На доске написаны два числа: 23 и 29. Каждую минуту Гермиона одно из чисел на доске уменьшает на 1, а другое записывает в блокнот. Так она делает до тех пор, пока оба числа на доске не станут нулями. а) Сколько чисел будет написано в блокноте? б) Какова будет сумма этих чисел? 


Решение:

Создадим следующую таблицу: в первых двух столбцах будем писать числа, которые написаны на доске, а в третьем — то, что Гермиона записывает в блокнот. Причем в первом столбце будут числа, полученные из 23, а во втором — из 29. Если Гермиона сначала уменьшила число 29, потом 23, потом 28, то первые три строки таблицы выглядят так:

а) Из условия следует, что сумма чисел в первых двух столбцах с каждой новой строкой уменьшается на единицу. В последней строке сумма чисел в первых двух столбцах равна нулю, в первой — 51. Значит, в таблице 52 строки, то есть Гермиона запишет в блокнот 52 числа.

б) Назовем число из первых двух столбцов особенным, если оно получено путем уменьшения другого на единицу из предыдущего шага. На картинке выше три особенных числа: 28 (первая строка), 22 (вторая строка), 27 (третья строка). Заметим, что в каждой строке ровно одно особенное число. Также заметим, что Гермиона записывает не особенное число в блокнот. С помощью пункта а) посчитаем сумму всех чисел первых двух столбцов: 51+50+...+1=26*53=1378. Также мы можем посчитать сумму всех особенных чисел. В первом столбце особенными числами будут следующие числа: 22, 21, ..., 0. Действительно, все эти числа встретятся в первом столбце и они будут особенными тогда, когда встретятся первый раз (смотря сверху вниз). Аналогично находятся особенные числа из второго столбца: 28, 27, ..., 0. Сумма всех особенных чисел: (1+2+...+22)+(1+2+...+28)=11*23+14*29=253+406=659. Вспомним, что на каждом шаге Гермиона записывает не особенное числа, поэтому сумма чисел, написанных в блокноте: 1378−659=667=23*29.

Ответ: а) 52, б) 667.


Источник: Практикум ФМШ №2007.