Решение задачи 412

Условие:

Можно ли представить число 110 в виде суммы натуральных слагаемых (не обязательно различных), сумма обратных величин которых равна 1?

Решение:

Оказывается, что можно. Четкого алгоритма как придумать пример нет. Надо пользоваться тем, что 1/n=1/(n+1)+1/(n(n+1)). Остается только верить в то, что пример, есть и искать его.

Заметим, что 1=1/4+1/4+1/4+1/4. Одну четверть оставим неизменной. Две запишем как 1/4=1/5+1/20. Еще одну как 1/4=1/6+1/30+1/20. В тоге имеем:

1=1/4+1/5+1/20+1/5+1/20+1/6+1/20+1/30. Убеждаемся в том, что 4+5+20+5+20+6+20+30=110.

Ответ: Можно.