Решение задачи 467

Условие:

На доске написано число 1234. Его можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из них не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью нескольких таких операций получить число 2019?

Решение:

Посмотрим на остаток при делении на 11. Число 10 дает остаток −1 при делении на 11, значит, 10ⁿ дает остаток (−1)ⁿ. Отсюда следует, что, чтобы найти остаток числа N при делении на 11, надо действовать следующим образом: посчитать знакопеременную сумму цифр, начиная справа. Например, число 1234 дает остаток 4 − 3 + 2 − 1 = 3 при делении на 11.

Заметим, что при операции, описанной в условии, остаток при делении на 11 не меняется. Действительно, остаток увеличится и уменьшится на единицу, так как цифры соседние (а они с разными знаками идут).

Число 2019 дает остаток 9 − 1 + 0 − 2 = 6 при делении на 11. Как было сказано выше, 1234 дает остаток 3. Но остаток при делении на 11 инвариант, значит, с помощью нескольких таких операций получить число 2019 невозможно.

Ответ: Нет.