Решение задачи 448

Условие:

Таня Хадыева умеет на любом отрезке отмечать точки, которые делят этот отрезок пополам или в отношении n : (n + 1), где n — любое натуральное число. Таня утверждает, что этого достаточно, чтобы на любом отрезке отметить точку, которая делит его в любом отношении m : k (m, k — натуральные). Права ли она?

Решение:

Чтобы разделить отрезок в отношении m : k, то достаточно уметь делить отрезок на m+k равных частей. Докажем, что для любого натурального n Таня может разделить отрезок на n равных частей. Будем доказывать по индукции.

База: из условия нетрудно видеть, что Таня легко может разделить отрезок на две части (даже на три).

Переход: пусть мы умеем делить отрезок на любое число равных частей, не большее n. Покажем, как разделить на n+1 часть. Если n+1 четно, то делим отрезок пополам, затем каждую из частей делим на (n+1)/2 равных частей (умеем по предположению индукции). Если же n+1 нечетно, то разделим отрезок в отношении k : (k+1), где n + 1 = 2k + 1. Левый отрезок разделим на k равных частей, правый — на k + 1 часть (умеем по предположению).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Права.