Решение задачи 452

Условие:

Назовем редкой парой два последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на произведение своих цифр (числа не должны содержать в своей десятичной записи нулей). Среди каких чисел больше редких пар — среди 2018-значных или среди 2019-значных?


Решение:

ПустьN и N+1 — редка пара n-значных чисел (n>1). Так как нулей в обоих числах нет, то перехода через разряда нет, то есть эти числа отличаются в последней цифре. Значит первые n−1 цифр у этих чисел совпадают. Рассмотрим любую из них, пусть это x. Известно, что N и N+1 делятся на x, но они взаимно просты, значит x равен 1. Значит, у двух чисел из любой редко пары все цифры, кроме последней, равны единице.

Вернемся к 2018-значным и 2019-значным числам. Числа в редких парах отличаются только последними цифрам, значит, возможны следующие пары последних цифр: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-9.

Пара 1-2 есть и в 2018-значных числах, и в 2019-значных числах. Заметим, что 14 не делится на 4, а 118 не делится на 8, поэтому пар 3-4, 4-5, 7-8, 8-9 нет нигде. Пары 2-3 тоже нет нигде по признаку делимости на 3. Аналогично нет пар 5-6 и 6-7.

Получается, что редкие пары у 2018-значных и 2019-значных чисел единственны: 11...11 и 11...12.

Ответ: Одинаково.