Решение задачи 486

Условие:

Множество А натуральных чисел таково, что для любого натурального n среди чисел n, 2n, 3n в А лежит ровно одно из них. Известно, что в А лежит двойка. Петя утверждает, что в А лежит 13824, права ли он?

Решение:

Пусть 2n лежит в А. Оно лежит в тройках (n, 2n, 3n) и (2n, 4n, 6n), значит числа n, 3n, 4n, 6n не лежат в А. Рассмотрим тройку (3n, 6n, 9n). Числа 3n, 6n не лежат в А, значит, 9n лежит. Автоматически 18n не лежат. Рассмотрим тройку (6n, 12n, 18n), числа 6n, 18n не лежат в А, значит, 12n лежит. Автоматически 24n не лежит. Рассмотрим тройку (4n, 8n, 12n), число 12n лежит, значит, 8n не лежит. Рассмотрим тройку (8n, 16n, 24n), числа 8n, 24n не лежат в А, значит, 16n лежит.

Итак, мы поняли следующее: если 2n лежит в А, то 4n и 8n не лежат в А, а 16n лежит. Раз двойка лежит, то 4, 8 не лежат, а 16 лежит. Число 16 четное, значит, 32 и 64 не лежат.

Пусть 6n лежит в А. Оно лежит в тройках (2n, 4n, 6n) и (3n, 6n, 9n), значит числа 2n, 3n не лежат в А. Рассмотрим тройку (n, 2n, 3n), числа 2n, 3n не лежат в А, значит, n лежит.

Итак, если 6n лежит в А, то n лежит в А. Разложим 13824 на простые множители: 13824 = 2⁹3³. Пусть 13284 лежит в А, тогда 2⁸3², 2⁷3, 2⁶ = 64 тоже лежат. Но мы до этого показали, что 64 не лежит, значит, 13824 не лежит.

Ответ: Не прав.