Решение задачи 461

Условие:

Число 670 обладает таким свойством: изменив любую его цифру на 1 можно получить число, кратное 11. Найдите наименьшее четырехзначное число, обладающее таким свойством.

Решение:

Для начала вспомним признак делимости на 11: разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.

Будем строить число жадно. Первая цифра числа не может быть меньше единицы, возьмем ее равной единице. Ее уменьшать нельзя, значит мы ее будем увеличивать. Получается, цифры, стоящие на нечетных местах, будем увеличивать, а цифры, стоящие на четных местах, — уменьшать. Цифру, стоящую на второй позиции, надо будет уменьшать, поэтому ноль поставить не можем, ставим единицу. На третье место нам ничто не мешает поставить ноль. Если на четвертую позицию поставить ноль, то полученное число (1100) не подойдет, так как оно само делится на 11. Поставить единицу на четвертую позицию мы можем, получится число 1101, которое удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 1101.