Решение задачи 493

Условие:

Петя написал на доске натуральное число, а потом стер последнюю цифру и написал ее чуть выше, в показателе степени. Оказалось, что результат делится на первое написанное число. Какое максимальное число мог написать на доске Пети?

Решение:

Пусть Петя написал число N, и b -- последняя его цифра. Тогда N представимо в виде N = 10a + b, где а -- число, полученное из N вычеркиванием последней цифры. По условию a^b делится на N. Выпишем сравнения по модулю (знак "=" означает сравнение по модулю):

10а = −b (mod N) => (10a)^b = (−b)^b (mod N); a^b = 0 (mod N) => (10a)^b = (−b)^b = 0 (mod N).

Получается, b^b делится на N, но b цифра, значит, N не превосходит 9^9.

Покажем, что 9^9 подходит. Пусть N = 9^9, нетрудно видеть, что 9^9 заканчивается на 9. Значит, b = 9. Так как N делится на 9 и последняя цифра 9, то и а делится на 9. Отсюда следует, что a^b = a^9 делится на 9^9.

Ответ: 9^9.