Решение задачи 447

Условие:

100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках было поровну.

Решение:

Переложим сначала все фонарики в первую коробку. Потом любые 100 фонариков переложим из первой коробки во вторую. Во второй коробке у всех фонариков нажмем кнопку. Покажем, что это работает. Пусть мы переложили из первой коробки во вторую k включенных фонариков (0≤k≤100), значит в первой коробке осталось 100−k включенных. Раз во второй коробке 100 фонариков, то в ней будет 100−k выключенных. Потом когда во второй коробке мы нажмем все кнопки, то количества включенных и выключенных фонариков поменяются местами. Поэтому во второй коробке станет 100−k включенных (и k выключенных) фонариков. Получается, количества включенных и выключенных фонариков совпадает в двух коробках (по 100−k в каждой).