Решение задачи 480

Условие:

Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на 2, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на 3 — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, … , делится на 9, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру.


Решение:

Если вычеркнуть вторую цифру, то число будет делиться на 2, значит, последняя цифра четная. Если вычеркнуть пятую цифру, то число будет делиться на 5, значит, последняя цифра либо 0, либо 5. Объединяя эти два вывода, получаем, что последняя цифра 0.

Если зачеркнуть девятую (ноль), то число будет делиться на 9, значит, сумма всех цифр делится на 9. Если зачеркнуть третью цифру, то число будет делиться на 3, значит, третья цифра делится на 3.

Если зачеркнуть четвертую цифру, то число будет делиться на 4, значит, число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4. Если зачеркнуть восьмую цифру, то число будет делиться на 8, значит, число, образованное 6-ой, 7-ой и 8-ой цифрами делится на 4.

Основная проблема с семеркой, потому что нет удобного признака делимости на 7. Для удобства хочется написать побольше нулей и добавить еще немного цифр, чтобы число делилось на семь. На первые две цифры у нас ограничений почти нет. Есть ли двухзначное число, которое делится на 7 и на 9? Есть, это 63. Тогда число 630000000 подойдет.

Ответ: 630000000.

Источник: ММО 2019, 10.1