Решение задачи 449

Условие:

Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

Решение:

Заметим, что в данном числе нет нуля, так как иначе, вычеркнув все кроме нуля, останется ноль, который делится на 11. Еще в этом числе не двух одинаковых цифр, потому, что вычеркнув все кроме них, получим число, составленное из этих двух одинаковых цифр, а это число делится на 11.

Итак, в нужном числе нет нулей и одинаковых цифр, значит, теоретические самое большое искомое число это 987654321. Покажем, что оно подходит. Пусть вычеркнули из него какие-то цифры, в полученном числе (назовем его А) цифры идут строго по убыванию. Будем постепенно вычитать из А число 11. Тогда свойство А "делиться на 11" не будет меняться. Пусть последняя цифра это k. Вычтем 11 k раз, на конце будет ноль, а предпоследняя цифра будет не ноль. Убрав ноль, свойство "делиться на 11" не поменяется. И цифры опять же будут идти в порядке убывания. Продолжая процедуру, придем к тому, что останется одна цифра (не ноль!), которая не делится на 11. Значит, и А не делится на 11.

Ответ: 987654321.