Решение задачи 488

Условие:

Докажите, что число (a+b)(b+c)(a+c), где a, b, c -- попарно различные натуральные числа, не может быть степенью двойки.

Решение:

Без ограничения общности будем считать, что a < b < c, тогда a + b < a + c < b + c и (a + b) + (a + c) = 2a + (b + c) > b + c. То есть существует треугольник со сторонами a + b, a + c, b + c.

Так как (a+b)(b+c)(a+c) степень двойки и каждая скобка натуральное число, то каждое из чисел a + b, a + c, b + c является степенью двойки.

Но нетрудно видеть, что треугольника со сторонами, выражающимися различными степенями двойки, не существует.