Решение задачи 441

Условие:

Предложите набор из четырех гирек, каждая из которых весит целое число граммов, чтобы с их помощью на чашечных весах без делений можно было взвесить любой целочисленный вес от 1 до 40 граммов.

Решение:

Вспомним про троичную систему. Рассмотрим числа 1, 3, 9, 27. Рассмотрим различные линейные комбинации этих комбинации этих чисел с коэффициентами 0, 1, 2 (каждое число идет с коэффициентом 0, 1 или 2). Известно, что мы таким образом получим все числа от 0 до 80.

С нашими весами можно считать, что веса гирь идут с коэффициентами −1, 0 и +1. Действительно, не взять гирю (не положить ни на какую чашу) равносильно тому, что она идет с коэффициентом 0, положить на левую чашу — +1, положить на левую чашу — −1 (считаем, что левая чаша отвечает на плюс, левая за минус).

Возьмем число, представленное в виде линейной комбинации чисел 1, 3, 9, 27 с коэффициентами 0, 1, 2. Уменьшим каждый коэффициент на единицу. Тогда множество коэффициентов станет {−1, 0, 1}. Это как раз те коэффициенты, которые у нас есть в задаче. Число уменьшится на 40, ведь 1+3+9+27=40. То есть с помощью гирек 1, 3, 9, 27 мы можем получить любое число от −40 до 40. Значит, мы можем получить любой вес от 1 до 40, что и требовалось.