Решение задачи 465

Условие:

Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N четно.

Решение:

Через S(x) обозначим сумму цифр натурального числа х. Из алгоритма сложения в столбик следует, что S(x+y) ≤ S(x)+S(y), причем равенство достигается только когда нет переносов разряда в сложении. По условию S(N)=100, значит S(10N)=100. Получается, 100 = S(5N)+S(5N) = S(10N) = S(5N+5N), значит, переносов разрядов нет, то есть 5N заканчивается на 0, а не на 5. Отсюда следует, что N четно.