Решение задачи 473

Условие:

Делитель натурального числа называется собственным, если он не равен единице и самому числу. Найдите все числа, у которых сумма двух наибольших собственных делителей равна 2019.

Решение:

По основной теореме арифметике любое натуральное N число представимо единственным способом в виде N = p₁ᵃ¹ * p₂ᵃ² * ... * pᵢᵃⁱ, где pᵥ — простые (1≤v≤i), aᵥ — натуральные (1≤v≤i) и p₁ ≤ p₂≤ ... ≤ pᵢ. Понятно, что наибольший собственный делитель N это N/p₁, а преднаибольший это либо N/p₁², либо N/p₂. Поэтому рассмотрим два случая:

1) N/p₁ + N/p₁² = 2019 => N * (p₁ + 1) / p₁² = 2019. N нацело делится на p₁², поэтому 2019 нацело делится на p₁ + 1, отсюда следует, что p₁ = 2. Значит, N = 4 * 2019 / 3 = 2692. Это число делится на 4, но не делится на 3, значит, два наибольших собственных делителя это действительно 2692/2 и 2692/4.

2) N/p₁ + N/p₂ = 2019 => N * (p₁ + p₂) / (p₁p₂) = 2019. N нацело делится на p₁p₂, значит, 2019 делится p₁ + p₂, отсюда следует, что p₁ = 2. Число 2019 делится только на 1, 3, 673, 2019, но 671 не является простым, значит, p₂ = 2017. Откуда получаем, что N = 2 * 2017 * 2019 / 2019 = 4034.

Ответ: 2692 и 4034.