Решение задачи 438

Условие:

Двое игроков отмечают точки плоскости. Сначала первый отмечает точку красным цветом, затем второй отмечает 100 точек синим, затем первый снова одну точку красным, второй 100 точек синим и так далее. (Перекрашивать уже отмеченные точки нельзя.) Докажите, что первый может построить правильный треугольник с красными вершинами.

Решение:

Пусть первый отметил N точек на прямой как угодно (N потом подберем). Сколько существует точек (ходов) таких, что появится красный правильный треугольник? Для каждой пары отмеченных точек таких ходов два. Всего пар точек N(N−1)/2, значит всего таких ходов N(N−1). Все эти ходы разные, потому что первый игрок отмечал точки на одной прямой. За N ходов второй игрок отметит 100N синих точек. При N>101 число N(N−1) больше, чем 100N, поэтому в какой-то момент найдется точка, не отмеченная синим такая, что закрасив ее в красный цвет, первый игрок получит красный правильный треугольник.