Решение задачи 454

Условие:

Даша утверждает, что число 0,112358132134… (после запятой записаны подряд идущие числа Фибоначчи) является иррациональным. Права ли она?

Решение:

Докажем, что для любого натурального n найдется число Фибоначчи, которое делится на n. Пусть дано натуральное n, рассмотрим последовательность Фибоначчи (начинающуюся с нуля) по модулю n, то есть каждое число заменим на остаток при делении на n. Рассмотрим первые 2*n²+2 членов последовательности. Разобьем их на n²+1 непересекающихся пар подряд идущих членов. Различных пар может быть n², потому что каждый член это натуральное число от 0 до n−1 включительно. Поэтому по принципу Дирихле найдутся две одинаковые пары. Так как по двум подряд идущим однозначно определяется следующий, то отсюда следует, что последовательность зациклится. Покажем, что предпериода не будет.

Пусть предпериод будет. Выберем его так, чтобы он был минимальной длины.

А — последнее число в предпериоде, В — первое число в цикле, С — второе, D — последнее. Числа А и D разные, так как предпериод выбран минимальным. Но по двум последовательным числам однозначно восстанавливается число, которое идет до них. С одной стороны до B, C идет число A. с другой — D, что невозможно. Значит, предпериода нет, значит 0 входит в цикл. Получается, для любого натурального n найдется бесконечно много чисел Фибоначчи, делящихся на это число.

Получается, для любого числа 10ⁿнайдется число Фибоначчи, делящееся на него, а значит это число заканчивается на хотя бы n нулей. Получается, в числе А=0,112358132134… найдется сколь угодно длинная последовательность из подряд идущих нулей, значит число А не является рациональным.

Ответ: Права.