Решение задачи 500
Условие:
Существует ли такая отличная от круга фигура, ограниченная отрезками и дугами окружностей, что все отрезки, делящие пополам ее периметр, имеют одинаковые длины?
Решение: Существует. Возьмем равносторонний треугольник АВС. Построим на каждой стороне во внутрь полуокружность. Дуги, находящиеся внутри треугольника, обозначим пунктиром (см. рисунок). Покажем, что ADCFBE — фигура, удовлетворяющая условию.
Нетрудно видеть, что отрезок AF делит периметр пополам. Начнем двигать концы отрезка так, что он делил периметр пополам. Если точка А сместится на дугу АD в точку G, то точка F перейдет в какую-точку H, на дуге FB, то есть концы отрезка всегда лежат на одной из трех полуокружностей.
Так как GH делит периметр пополам, то длина дуги AG равняется длине дуги FH. Значит, дуга AGDF равна дуге GDFH, то есть отрезки имеют одинаковую длину.