Решение задачи 417

Условие:

Отрезок [0,1] разделили на 2¹⁰⁰ равных частей. В каком отношении (считая от левого конца) точка 1/3 делит ту часть, в которую попадает?

Решение:

Понятно, что точка 1/3 попадает строго внутрь какого-то маленького отрезка. Пронумеруем маленькие отрезки от 1 до 2¹⁰⁰ слева направо по порядку. Пусть точка 1/3 попала в отрезок с номером n+1. Она делит его на левую часть и правую. Пусть x — отношение длины левой части ко всему отрезку. Понятно, что 0<x<1. Получается, отрезок [0;1/3] содержит ровно n+x маленьких отрезков. Отрезок [1/3;1] в два раза длиннее чем отрезок [0;1/3], а значит содержит в два раза больше маленьких отрезков, а именно 2n+2x. Получается, n+x+2n+2x=3n+3x=2¹⁰⁰. Отсюда получаем, что x либо 1/3, либо 2/3. Надо воспользоваться тем, что 2¹⁰⁰−3x=3n, то есть делится на 3. Двойка сравнима с (−1) по модулю 3, значит 2¹⁰⁰ дает остаток 1 при делении на 3. Отсюда однозначно следует, что x=1/3. Значит точка 1/3 делит отрезок (считая от левого конца) в отношении x/(1−x)=1/2.

Ответ: 1:2.