Старинная французская задача XVII века о трёх братьях и 8 экю: путешествие сквозь время

В XVII веке французские салоны оглашались не только спорами философов и поэтов, но и математическими баталиями. Одна из самых изящных головоломок той эпохи звучала так:

«Три брата имеют по некоторой сумме денег каждый. Первый даёт из своих денег двум другим столько, сколько есть у каждого. После него второй даёт двум другим столько, сколько каждый из них имеет. Наконец, и третий даёт двум другим столько, сколько есть у каждого. После этого у всех троих оказывается по 8 экю. Спрашивается, сколько денег было у каждого вначале».

Примечание. Экю (фр. écu) — название средневековых золотых и серебряных монет Франции.

Эта, на первый взгляд, простая задача стала классикой рекреационной математики. Её арифметическое решение требует «обратного путешествия во времени» — от конца к началу.

Такие головоломки использовались для обучения банкиров и купцов, подчёркивая важность точного расчёта.

Решение 1 (арифметическое: обратный ход)

Рассуждения удобно начать с конца и решение можно представить в виде следующей таблицы.

Ответ: Сначала у каждого было соответственно 13, 7 и 4 экю.

Решение 2 (алгебраическое: система линейных уравнений)

Попробуйте сначала решить самостоятельно и лишь затем сравните своё решение.

Алгебраическое решение можно выполнить следующим образом.

Обозначим первоначальные деньги за x, y, z экю.

После первого обмена у них стало экю: x − y − z, 2y, 2z.

После второго обмена: 2x − 2y − 2z, 2y − (x − y − z) − 2z = − x + 3y − z, 4z.

После третьего обмена: 4x − 4y − 4z = 8, − 2x + 6y − 2z = 8, 4z − (2x − 2y − 2z) − (− x + 3y − z) = − x − y + 7z = 8.

Решая эту систему трёх уравнений с тремя неизвестными, получим: x = 13, y = 7, z = 4.

Примечания

Эта задача встречается в некоторых сборниках старинных и занимательных задач, например:

1. Баврин И. И. Сборник задач и занимательных упражнений по математике, 5–9 классы. — М.: ВЛАДОС, 2013. — 236 с.
2. Люка Эдуард. Математические развлечения. — С.-Петербург: Издание Ф. Павленкова, 1883. — 204 с.

«Обратный ход» и сейчас много где применяется: от алгоритмов до квестов.

• Компьютерные алгоритмы: Метод обратного хода используется в динамическом программировании.
• Образование: Такие задачи включают в математические олимпиады для обучения нестандартному мышлению.
• Квесты-головоломки.