Арифметика пифагорейцев: фигурные числа

«Всё есть число»

Число — мера вещей, лежащая в основе бытия, причина стройности и порядка. 1 (монада) — матерь всех чисел. Числа 1, 2, 3, 4 — священная четверица, первооснова всего (огонь, земля, вода, воздух). 10 (декада) — их сумма, превосходное число, корень всей природы.

Именно так пифагорейцы начали приписывать числам свойства не математического характера, что привело к мистике. Их арифметика была в некоторой степени спекулятивной наукой. Тем не менее, ими были заложены основы теории чисел. Изучение свойств делимости чисел позволило разбивать их на классы. А ещё арифметика пифагорейцев была тесно связана с геометрией.

Основным свойством чисел считалась чётность. Пифагорейцы создали учение о чётных и нечётных числах. Эта теория впоследствии была включена Евклидом в его «Начала» (IX книга).

Единицы, составляющие число, считались неделимыми и изображались точками, которые пифагорейцы располагали в виде правильных геометрических фигур. Так возникли фигурные числа: линейные, плоские, треугольные, квадратные и пятиугольные.

Линейные числа (или простые) — делятся только на 1 и на самих себя, представляются в виде точек, выстроенных в линию. Например, простое число 5.

Линейные числа (или простые) — точки, выстроенные в линию (пример: 5)

Плоские числа представляются в виде произведения двух сомножителей, поэтому изображаются в виде прямоугольника. Например, 6.

Плоские числа — изображаются в виде прямоугольника (пример: 6)

Телесные числа представляются в виде произведения трёх сомножителей и изображаются в виде прямоугольного параллелепипеда. Например, 8.

Телесные числа — изображаются в виде прямоугольного параллелепипеда (пример: 8)

В настоящее время простые числа не относят к фигурным, а термины «плоское число» и «телесное число» вышли из употребления.

Треугольными называются числа 1, 3, 6, 10, ... или в общем виде — частичные суммы членов арифметической прогрессии 1, 2, 3, ...: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.

Треугольные числа — изображаются последовательно точками вложенных треугольников (пример: 10)

Квадратными называются числа 1, 4, 9, 16, ..., или в общем виде — частичные суммы членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, ...: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n² (это сумма последовательных нечётных чисел, начиная от 1).

Существующее ныне выражение «квадрат» — для числа n² — это пережиток пифагорейской терминологии. Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести число в квадрат (или в куб)».

Замечательное свойство: каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел.

Квадратные числа — изображаются последовательно точками вложенных квадратов (пример: 16)

Пятиугольные числа — это числа 1, 5, 12, 22, ..., или в общем виде — частичные суммы членов арифметической прогрессии 1, 4, 7, ...: 1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2) = n(3n − 1) / 2.

Пятиугольные числа — изображаются последовательно точками вложенных пятиугольников (пример: 22)

Возможно дать общее определение k-угольного числа для любого k, больше или равного 3: n-е по порядку k-угольное число есть сумма первых n членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а разность равна (k − 2).

В теории чисел и комбинаторике фигурные числа связаны со многими другими классами целых чисел — биномиальными коэффициентами, совершенными числами, числами Мерсенна, Ферма, Фибоначчи.

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Их изучали многие видные математики: Эратосфен, Диофант, Ферма, Эйлер, Лагранж и Гаусс.

Про фигурные числа и арифметику пифагорейцев читайте в книге Мансура Гильмуллина «История математики».

Автор М. Ф. Гильмуллин и его «История математики», 2018

#историяматематики #пифагорейцы #арифметика #фигурныечисла #теориячисел