Пифагорейцы исследовали решения неопределённого уравнения в натуральных числах:
x² + y² = z²
Сегодня эта задача называется задачей Пифагора, а её решения, тройки натуральных чисел x, y, z, — называются пифагоровыми тройками.
Пифагор на Римском форуме. Мраморная римская копия с греческого оригинала II-I веков до н. э. Коллекция Колизея, Рим, Италия (Colosseum, Rome, Musei Capitolini, Italy). Фото: Wikimedia Commons, 2013-03-04
Такая теоретико-числовая задача связана с геометрической задачей: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами x, y и гипотенузой z. Её частные решения были известны ещё в Египте и Вавилоне. В папирусах есть прямоугольный треугольник с отношением сторон 3 : 4 : 5, который и сегодня называется египетским. Он позволял древним людям строить прямые углы.
Общее решение этой задачи в случае взаимно простых чисел x, y, z встречается у Диофанта (III в. н. э.):
x = 2pq,
y = p² − q²,
z = p² + q²,
(p, q) = 1.
Их называют также формулами Евклида. Из них следует, что существует бесконечно много пифагоровых троек.
Статуя Евклида в Музее естественной истории Оксфордского университета, Великобритания (Statue in honor of Euclid in the Oxford University Museum of Natural History, Great Britain). В руках Евклид держит свиток, на котором схематично изображён чертёж к теореме Пифагора. Фото: Mark A. Wilson, 2008-03-15
Возможные значения z в пифагоровых тройках образуют последовательность A009003 в OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).
Пифагоровы тройки обладают многими замечательными свойствами, которые являются объектами специальных исследований. Эти свойства применяются также при решении некоторых теоретико-числовых задач, например, при решении неопределённых уравнений второй степени. Пифагоровы тройки используются в криптографии в качестве случайных последовательностей для генерации ключей.
Plimpton 322, вавилонская табличка возрастом 3700 лет. Ряды на табличке описывают последовательность соотношений сторон прямоугольных треугольников, наклон которых неуклонно уменьшается. Таким образом, это были зачатки науки тригонометрии. Этот важнейший научный артефакт древнего мира, вероятно, создан в шумерском городе Ларса, который располагался недалеко от современного Телль-ас-Сенкере (Tell as-Senkereh) на юге Ирака. Табличка, скорее всего, была написана между 1822–1762 гг. до н. э. (примерно во времена правления Хаммурапи, шестого царя Первой Вавилонской династии). Её обнаружил в начале 1900-хх годов археолог, академик и искатель приключений Эдгар Дж. Бэнкс (Edgar J. Banks, прототип вымышленного персонажа Индианы Джонса). В 1920-хх годах Бэнкс продал табличку Джорджу Артуру Плимптону (George Arthur Plimpton, американский издатель и филантроп). Плимптон завещал всю свою коллекцию математических артефактов Колумбийскому университету в 1936 году, и сегодня она находится там, в Библиотеке редких книг и рукописей, в Нью-Йорке
Обобщением теории пифагоровых троек служит задача поиска троек натуральных чисел x, y, z, таких, что xⁿ + yⁿ = zⁿ для некоторого n, большего 2. Пьер Ферма в 1637 году высказал утверждение, что таких троек не существует, и это утверждение стало известно как Великая теорема Ферма.
Интересный факт: фрактальное «Дерево Пифагора». Его так называют потому, что каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора. Хорошо видно, что дерево ограничено на плоскости. Если самый большой квадрат равен единице, то всё дерево поместится в прямоугольник 6 × 4 и его площадь не превосходит 24. С другой стороны, на каждом шаге во фрактал добавляется в два раза больше троек квадратов, чем в предыдущем, а их линейные размеры в √2 раз меньше. То есть добавляется одна и та же площадь, равная площади начального квадрата, то есть 2. Казалось бы, тогда площадь всего дерева должна стремиться к бесконечности! Но на самом деле противоречия здесь нет. Через несколько итераций квадраты начинают перекрываться, и площадь всей фигуры прирастает не так быстро. А значит, она всё-таки конечна, хотя её точное значение вычислить довольно проблематично
Про пифагоровы тройки и арифметику пифагорейцев читайте в книге «История математики».
Обложка и некоторые страницы из книги Мансура Гильмуллина «История математики», 2018
