Большие числа
Начинаем серию статей «Историко-методические учебные ситуации и задачи» (УИМЗ). Такие задачи помогают материализовать учебную ситуацию в форме конкретной задачи. Они содержат историко-математический контекст и систему заданий.
Если человек успешно выполняет такие задания, то можно считать, что он разобрался в этой учебной ситуации. Педагогические идеи, заложенные в УИМЗ, расширят методический аппарат учителя математики, а неожиданные связи между различными ситуациями, встречающимися на практике, могут быть интересными и полезными всем, кто интересуется математикой.
УИМЗ «Большие числа»
В повседневной жизни человеку иногда приходится сталкиваться с названиями больших чисел. Представим, что ребёнок спрашивает, что такое «триллион», почему это число так назвали. Как это объяснить? Существует ли какая-то закономерность в названиях больших чисел?
Мы предложим различные практические ситуации, в которых встречаются названия больших чисел. В процессе исследования решений этих задач у вас возникнет целостное представление использования больших чисел в жизни человека.
1. Известно, что итальянскому путешественнику, купцу Марко Поло (1254–1323) приписывается первое применение термина «millionе» — «большая тысяча». Он таким образом пытался описать большие богатства Востока. Французский математик и врач Никола Шюке (1445–1500) в сочинении «Наука о числах в трёх частях» (1484) по аналогии ввёл термины: биллион, триллион и так до нониллиона.
Дайте характеристику математических объектов, для которых используются данные термины, и охарактеризуйте закономерность их появления. Определите, что обозначает последний термин. Продолжите, если это возможно, данный ряд терминов и соответствующих объектов. Проанализируйте современное состояние использования данных терминов, изменилось ли оно со времён Шюке, есть ли среди них термины «миллиард», «октиллион», что они означают?
2. Как назывались большие числа у разных народов и в разные времена? Сравните исторические сведения по этому вопросу о славянах, арабах и других народах. Например, у славян когда-то десять тысяч был назван «тьмой». В старославянской нумерации названия существовали до 10⁵⁰. Далее делалась приписка: «и более сего несть человеческому уму разумети». Почему, как вы думаете?
3. Как в данной ситуации можно прокомментировать строки стихотворения А. Блока «Скифы»: «Мильоны — вас. Нас — тьмы, и тьмы, и тьмы...»?
4. Оказывается, есть определённая граница, после которой большие числа уже не употребляются практически. Например, известное число «гугол» можно считать такой границей. Знаете ли вы, что такое «гугол»?
Ответы и историческая справка
Мы сразу же дадим ответы на эти вопросы, чтобы вы поняли, как это делается.
1. Мы и раньше сталкивались в жизненных ситуациях со словами «миллион», «миллиард» для обозначения достаточно больших чисел. Встречались они и в математике при введении десятичной нумерации. Значит, данные термины используются для именования классов больших чисел. На практике для обозначения тысяч используется приставка «милли» (миллиметр, миллиграмм), которая связана и со словом «миля». Значит, «миллион» по-русски — это «тысяча тысяч», «тысячище», а его значение — 10⁶. Встречаемся мы на практике и со словом «биллион», которая используется в англоязычных странах вместо слова «миллиард»: 10⁹ (например, в компьютерных технологиях).
Следующий класс чисел нам тоже известен — это «триллионы»: 10¹². Обращаем внимание на корни (би, три) и суффиксы (-ллион) этих слов. Они подсказывают закономерность образования этих слов: надо к числительным (два, три) на латинском языке добавлять «ллион». Поэтому следующими числами в этой последовательности будут: квадриллион 10¹⁵ (знаем слово «квадрант»), квинтиллион 10¹⁸ (мало кто его называет), секстиллион 10²¹ (вспомните английское числительное «шесть»), септиллион 10²⁴ (не знают), октиллион 10²⁷ (октава, октант связаны с числом 8), нониллион 10³⁰ (название 9-й кратности встречали в физике). Нетрудно догадаться и о следующем числе — дециллионе 10³³.
Эти названия используются в «короткой шкале». Система наименования чисел с короткой шкалой используется в России и других странах бывшего СССР, англоязычном и арабоязычном мире. Существует ещё другая «длинная шкала», в большинстве франкоязычных, скандинавских, испаноязычных стран.
2. О способах записи и названиях больших чисел в истории математики упоминается при анализе трудов Архимеда («Псаммит», или «Исчисление песчинок»). Он пытается определить число песчинок, которые занимает в своём объёме Вселенная. С этой целью он пробует вычислить размер Вселенной, основываясь на астрономических представлениях того времени, а также предлагает способ наименования очень больших чисел. Во времена Архимеда числовая система могла описывать числа вплоть до мириады (10000). Архимед пришёл к числам мириадо-мириадного периода. В итоге Архимед показал, что Вселенная может содержать в себе не более 10⁶³ песчинок.
При изучении славянской нумерации встречаются обозначения больших чисел (IX–XVII века): тьма (10⁴ или 10⁶), легион (10⁵ или 10¹²), леодр (10⁶ или 10²⁴), ворон (10⁷ или 10⁴⁸), колода (10⁸ или 10⁴⁹), тьма тем (10⁹ или 10⁵⁰). Как известно, «тьма» в обычной речи — огромное, не поддающееся пересчёту количество. От слова «тьма» произошло воинское звание темник — крупный военачальник. 10⁵⁰, тьма великая, или тьма тьмущая, самое большое число — бесконечное количество, неисчислимое множество. Например, в Апокалипсисе: «Число конного войска было две тьмы тем; и я слышал число его». В «Слове о полку Игореве» мы встречаем фразу «орда покрыла вороновым крылом».
3. Вас много (миллионы), а нас — неисчислимо (тьма).
4. Гугол (от англ. googol) — число, в десятичной системе счисления изображаемое единицей со 100 нулями. Термин «гугол» не имеет серьёзного теоретического и практического значения, он используется в смысле невообразимо большого числа.
Название компании Google является искажённым написанием слова «гугол» (англ. googol).