Задача Диофанта о делении числа 100: старинная головоломка

«Диофант открывает нам мир арифметики и алгебры, не менее богатый и красочный, чем геометрия Евклида»
— И. Г. Башмакова

Задача Диофанта о делении числа 100 — одна из теоретико-числовых задач, сохранившихся в его «Арифметике». Эта работа, созданная в III веке н. э., содержит 189 задач с решениями (в сохранившихся шести книгах) и считается первым систематическим трудом по алгебре.

Формулировка задачи

Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы:

1. Большая часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления.
2. Большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от первого деления.

Задача Диофанта — классический пример поиска рациональных решений для системы неопределённых уравнений. Она демонстрирует характерный для Диофанта подход — поиск рациональных решений неопределённых уравнений, которые теперь называют «диофантовыми».

Диофант использовал оригинальные методы, которые можно реконструировать по сохранившимся задачам. Хотя он и не использовал современную алгебраическую символику, но фактически применял методы подстановки и исключения переменных.

Историческая справка

Большую часть знаний об «Арифметике» Диофанта мир получил благодаря латинскому переводу Клода Гаспара Баше (Claude-Gaspard Bachet), изданному в 1621 году. Именно этот перевод, иллюстрированный комментариями, вдохновил Пьера Ферма на формулировку его знаменитой последней теоремы.

«Cubem autem in duos cubos… resolvi non posse», — писал Ферма на полях издания Баше.

Задачи Диофанта — это не только упражнения по алгебре, но и исторический мост к современной математике. Попробуйте решить его задачу сперва самостоятельно и потом сравнить с методом самого Диофанта. Так вы окажетесь в компании античного алгебраиста, работавшего задолго до изобретения уравнений в их нынешнем виде.

Решение

Для данной задачи подход Диофанта мог бы выглядеть так. Сначала формализуем условие задачи.

Обозначим:

• первое деление: 100 = a + b (где a > b);
• второе деление: 100 = c + d (где c > d).

Условия задачи переводятся в уравнения:

1. a = 2d
2. c = 3b
3. a + b = 100
4. c + d = 100

Эта система из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными вполне разрешима. Все переменные можно выразить через b:

• d = 100 − 3b
• a = 2d = 200 − 6b
• a + b = 200 − 6b + b = 200 − 5b = 100, b = 20

Находим остальные неизвестные:

• a = 100 − 20 = 80
• c = 3b = 60
• d = 100 − 60 = 40

Ответ

• Первое деление: 100 = 80 + 20.
• Второе деление: 100 = 60 + 40.