Фальшивое правило: метод ложного положения

Правило ложного положения (Regula Falsi, False Position Method) — один из старейших методов решения уравнений, появившийся за тысячелетия до формальной алгебры. Этот алгоритм использовали египетские писцы, вавилонские астрономы, китайские и арабские математики. В Европе он продержался в учебниках до начала XIX века.

К слову, египтяне рассматривали и алгебраические задачи, сводящиеся к линейным уравнениям с одним неизвестным.

Задача. Куча и её четвёртая часть вместе дают 15. Какова куча?

Приведём традиционное решение в египетском духе.

«Начни с 4. Получишь 5. 15 подели на 5. Результат умножь на 4».

В этом решении применяется метод, получивший в более поздние времена название «правила ложного положения». Для неизвестной величины берётся произвольное значение, учитывая особенности входящих в задачу чисел, стараясь избавиться от дробей. Когда в результате предписанных действий получается не то число, которое требуется получить по условию, то испробованное «ложное» значение и значения его частей подвергаются пропорциональному исправлению.

Существовало две версии:

1. Простое правило (одного ложного положения): неизвестное заменяли на удобное число, а затем масштабировали результат. Оно применялось уже в Древнем Египте.
2. Двойное правило (двух ложных положений): подставляли два числа, сравнивали ошибки и находили точное решение через взвешенную комбинацию. Оно возникло в поздней античности.

Рассмотрим более простое «правило одного ложного положения». Этот метод напоминает современную линейную интерполяцию, но без формального обозначения уравнений.

Упоминание правила

• В папирусе Ахмеса (египетский учебник математики, ок. 1650 г. до н. э.) 15 задач решены этим методом.
• Вавилоняне применяли аналогичные подходы для астрономических расчётов, но без систематизации.
• В китайской книге «Математика в девяти книгах» (II в. до н. э.) метод назван «Избыток–Недостаток» и использовался для задач типа:
  «Если у каждого человека 5 монет, остаётся 15; если по 6 — не хватает 4. Сколько людей?».
• Индийские математики называли его ishta karman и передали арабам, которые переименовали его в «правило чашек весов».
  Вот так звучало правило весов: «Рисуй весы и пиши над точкой опоры результат, который получается после указанных в задаче действий над неизвестным числом. Оба ложных положения пиши над чашками весов, погрешности «больше» пиши под весами, «меньше» — над весами. Ложные положения и погрешности умножить накрест. Бери разности произведений, если погрешности находятся по одну сторону от весов, бери их суммы, если погрешности стоят по разные стороны».
• Леонардо Пизанский (Фибоначчи) описал правило в Liber Abaci (1202 г.) на примере задачи о высоте дерева.
  «Определить высоту дерева, часть которого, сидящая под землёй и равная 21 пяди, составляет треть и четверть его высоты». Примем за искомую высоту число 12, как удобное для деления на 3 и 4. Тогда для подземной части дерева получится число 7. 21:7 = 3. 12 × 3 = 36 — высота дерева.
• В России метод появился в XVII веке через арабские источники. Леонтий Магницкий в «Арифметике» (1703 г.) назвал его «фальшивым правилом» и посвятил ему целый раздел: «О правилах фальшивых или гадательных».

Задача на «фальшивое» правило

Решим задачу из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого, используя «фальшивое» правило.

Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придёт ещё столько же учеников, сколько имею, и полстолько и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100».

Решение

1) Делаем первое предположение: пусть учеников было 24.

Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолька, четверть столька и 1», то есть имели бы:

24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67, то есть на 100 − 67 = 33 меньше, чем требовалось по условию задачи. Число 33 называем «первой погрешностью».

2) Делаем второе предположение: учеников было 32, тогда имели бы:

32 + 32 + 16 + 8 + 1 = 89, то есть на 100 − 89 = 11 меньше. Это — «вторая погрешность».

Если при обоих предположениях получилось меньше, даётся правило: помножить первое предположение на вторую погрешность, а второе предположение на первую погрешность, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность погрешностей:

(32 × 33 − 24 × 11)/(33 − 11) = 792/22 = 36

Ответ: учеников было 36.

Конечно же, решать эту задачу алгебраически при помощи уравнения 2x + x/2 + x/4 + 1 = 100, намного легче.

Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию. Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы.

Время на решение задачи, используя «фальшивое» правило, тратится намного больше, чем на решение задач с помощью уравнений.

Откуда появляется «Простое правило»

Требуется решить задачу, сводящуюся к уравнению ax = b. Положим ложное значение x = x₁ и вычислим ax₁ = b₁. Тогда решение исходного уравнения x = (b/b₁)x₁.

Обоснуем сущность «Двойного правила» на примере решения линейного уравнения:

ax = b (1)

Пусть «первое ложное положение» x = x₁. Подставив x₁ в уравнение, получим:

ax₁ = b + n₁ (2)

где n₁ — первая погрешность правой части уравнения. Она может быть и отрицательной.

Теперь пусть «второе ложное положение» x = x₂, тогда получим:

ax₂ = b + n₂ (3)

где n₂ — вторая погрешность правой части уравнения.

Вычтем почленно уравнения (2) и (3):

a(x₁ − x₂) = n₁ − n₂ (4)

Теперь обе части уравнения (2) умножим на x₂, а обе части уравнения (3) на x₁, и затем почленно вычтем полученные уравнения:

b(x₂ − x₁) + (n₁x₂ − n₂x₁) = 0 (5)

Из уравнения (4) найдём a, а из уравнения (5) найдём b. Так как из исходного уравнения (1) x = b/a, то получим:

x = (n₁x₂ − n₂x₁):(n₁ − n₂)

Это и есть решение уравнения (1), используя «ложные положения».

К XIX веку правило ложного положения вытеснили алгебраические методы. Формулы Виета и Декарта сделали записи компактнее.

Интересно, что в XX веке идея этого правила возродилась в «Численных методах» как «метод секущих» для приближённого решения уравнений.

Правило ложного положения — это мост между эмпирической математикой древности и строгой алгеброй Нового времени. Оно показывает, как практические задачи вели к абстрактным методам. Сегодня его изучают как исторический приём, но именно такие приёмы заложили основы современной алгебры.