Геометрическое место точек «на козах»

«На козах» можно по-простому объяснить понятие «геометрическое место точек» (ГМТ). Математическая коза идеальна, не имеет размера. Она обладает бесконечной прожорливостью и съедает всё, до чего сможет дотянуться.

Пусть коза привязана верёвкой к колышку. В этом случае она съест траву внутри круга, центром которого является колышек, а радиус равен длине верёвки. Круг и есть геометрическое место точек, удалённых от центра на расстояние, меньшее или равное радиусу.

Привяжем козу к двум колышкам с помощью верёвки и скользящего по ней кольца. В этом случае область, внутри которой коза съест траву, будет эллипсом. Граница этой фигуры характеризуется тем свойством, что сумма расстояний от любой её точки до колышков равна длине верёвки. Такая кривая называется эллипсом.

А вообще, понятие ГМТ было когда-то элементом школьной геометрии. Специальный термин «геометрическое место точек» в отечественной литературе появился ещё в XIX веке. Метод геометрических мест для решения задач на построение подробно разобран в геометрических пособиях разных времён (например, И. И. Александров «Сборник геометрических задач на построение», 1950). Оно использовалось в предыдущих школьных учебниках Л. С. Атанасяна и А. В. Погорелова. Но постепенно словосочетание ГМТ по разным причинам вышло из активного употребления.

Геометрическое место точек — это множество точек на плоскости или в пространстве, обладающих определённым характеристическим свойством. Другими словами, этим свойством должны обладать все точки ГМТ и только они. В англоязычной литературе используется аналогичный латинский термин locus, означающий «место».

ГМТ иногда называют фигурой речи, употребляемой для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством. Можно сказать, что ГМТ является «максимальным» множеством точек плоскости, удовлетворяющих условию задачи. На практике задачи на нахождение ГМТ иногда связывают с построением циркулем и линейкой.

Перечислим основные ГМТ школьного курса геометрии на плоскости.

• ГМТ, равноудалённых от данной точки, — окружность.

• ГМТ, равноудалённых от концов отрезка (от двух точек), — серединный перпендикуляр к отрезку.

• ГМТ, равноудалённых от сторон угла и лежащих внутри него, — биссектриса угла.

• ГМТ, равноудалённых от пары данных пересекающихся прямых, — две перпендикулярные прямые (биссектрисы углов, образованных данными прямыми).

• ГМТ, находящихся на расстоянии d от данной прямой, — пара параллельных прямых.

• ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, — две дуги окружностей одинакового радиуса, для которых данный отрезок является общей хордой, причём из дуг исключены концы отрезка. Если угол прямой, то остаётся одна окружность без концов отрезка (диаметра).

Существует и более сложные ГМТ. ГМТ, обладающих двумя свойствами, является пересечением двух фигур, обладающих первым свойством, и обладающих вторым свойством. ГМТ в пространстве определяется аналогично. Например, ГМТ, равноудалённых от данной точки в пространстве — сфера.

Вот ещё примеры*, не из школьной программы, а из курса аналитической геометрии.

• Парабола — ГМТ, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы).

• Гипербола — ГМТ, для которых абсолютное значение разности расстояний от точки до двух выделенных точек (фокусов) постоянно.

• Эллипс — геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Вот поэтому-то математическая коза и съедает траву на участке в форме эллипса!

#историяматематики #ГеометрическоеМестоТочек #ГМТ #шутки

* Анимация взята из презентации «Оптическое свойство эллипса, параболы, гиперболы» М. Григория.