Геометрия пифагорейцев: теорема Пифагора

Уделом истины не может быть забвенье,
Как только мир её увидит взор;
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день её рожденья.

Адельберт фон Шамиссо (перевод А. Хованского)

Знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер назвал её одним из сокровищ геометрии, сравнимым с мерой золота. Вряд ли во всей математике найдётся более весомое и значимое утверждение, ведь по числу научных и практических приложений теореме Пифагора нет равных. Это самая значимая, простая и красивая в своей формулировке теорема.

По сообщениям историков математики, соотношение между сторонами прямоугольного треугольника (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c²) было известно уже в древних цивилизациях. В Древнем Египте около XXIII век до н. э. было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5 («египетский треугольник») — его использовали так называемые гарпедонапты — «натягиватели верёвок». В древневавилонском (XX век до н. э.), древнекитайском (V век до н. э.) текстах встречаются такие же задачи.

В пифагорейской школе геометрия из собрания рецептов решения различных задач на измерение площадей превратилась в абстрактную науку. Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательств.

Принято считать, что Пифагор дал первое доказательство этой самой популярной геометрической теоремы, носящей теперь его имя.

Её геометрическая формулировка: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Доказательство Пифагором этой теоремы окружено ореолом легенд. Например, существует легенда, что он принёс богам в жертву сто быков за открытие этой истины. Однако это маловероятно: Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена.

У Евклида эта теорема названа «теоремой нимфы» из-за сходства чертежа с бабочкой (нимфой). Так как «нимфа» — также богиня, невеста, то арабы назвали её «теоремой невесты».

Существует множество доказательств (около 400) этой теоремы: геометрических, алгебраических, механических и тригонометрических. Доказательство самого Пифагора до нас не дошло.

В современных школьных учебниках по большей части даются простые алгебраические выводы этой формулы. При этом теряется первозданная геометрическая аура теоремы, путь, который вёл древних мудрецов к истине. Поэтому в школе нужно найти возможность познакомить учащихся и с классическими геометрическими доказательствами, в том числе и с известными из древних трактатов.

Интерес представляет доказательство в индийском духе (Бхаскара II, XII в.): «Смотри!».

Можно познакомить учеников и с красивым арабским доказательством «кресло невесты».

С одним из изображений доказательства теоремы связано популярное в русском школьном фольклоре выражение «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Факты

1. Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике.

2. Верна и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Узнать больше про теорему Пифагора и геометрию пифагорейцев можно из книги Мансура Гильмуллина «История математики».

#историяматематики #пифагорейцы #геометрия #ТеоремаПифагора #Пифагор