Исаак Ньютон — мальчик, играющий на морском берегу
«Не знаю, как меня воспринимает мир, но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на морском берегу, который развлекается тем, что время от времени отыскивает камешек более пёстрый, чем другие, или красивую ракушку, в то время как великий океан истины расстилается передо мной неисследованным».
И. Ньютон
В XVII в. перед естествознанием возникла новая проблема — найти законы движения. Для этого аппарат математики постоянных величин был недостаточным. Работы Кавальери, Декарта, Валлиса, Гюйгенса и Паскаля подготовили всё для построения дифференциального и интегрального исчислений. Они появились в работах Ньютона и Лейбница и стали могучим средством решения новых задач. О том, что они опирались на труды предыдущих поколений математиков, Ньютон сказал: «Я сделал так много потому, что стоял на плечах гигантов».
Исаак Ньютон родился 25 декабря 1642 г. (4 января 1643 г.) в Вулсторпе, графство Линкольншир, Англия. Гениальный английский учёный, основоположник современной механики, создатель математики непрерывных процессов, астроном.
Ньютон учился сначала в Тринити-колледже Кембриджа, потом в Кембриджском университете у Исаака Барроу. С 1669 г. до 1701 г. — профессор Кембриджского университета, с 1699 г. — главный директор Монетного двора, с 1703 г. — Президент Королевского общества.
Годы работы в университете были для Ньютона самыми плодотворными. Именно в это время он написал свои важнейшие труды. В 1665–1666 гг. в Кембридже вспыхнула чума, и Ньютон уехал в деревню. Его библиограф профессор Мор заметил: «В истории науки нет равного примера таких достижений, как достижения Ньютона в течение этих двух золотых лет».
За эти годы он открыл свой общий метод анализа, который назвал «теорией флюкций». Первое систематическое изложение этой теории дано в рукописи «Следующие предложения достаточны, чтобы решать задачи с помощью движения» (1666).
В следующем труде Ньютона «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (1669) содержатся фундаментальные открытия в области бесконечных рядов. В частности, он обобщил общее разложение степени бинома на случай любого действительного показателя. Данный Ньютоном метод изучения функций с помощью рядов имел впоследствии огромное значение для всего анализа.
При издании трудов Ньютону приходилось вступать в полемику с научным миром, и поэтому он перестал печататься. Его сочинения были изданы лишь после того, как его имя приобрело мировую славу. Например, «Метод флюкций и бесконечных рядов» был напечатан только в 1736 г., после его смерти. Столь позднее издание трудов Ньютона по исчислению бесконечно малых ограничило распространение его открытий, особенно за пределами Англии.
Изложение анализа Ньютона имеет механическую основу. Текущие переменные величины изменяются в зависимости от времени, они называются флюэнтами и обозначаются: x, y, z. Скорости, с которыми каждая флюэнта изменяется при движении, называются флюкциями и обозначаются: ẋ, ẏ, ż. Бесконечно малые изменения флюэнт, названные моментами флюкций, обозначаются: ẋo, ẏo, żo, где o — бесконечно малое количество.
Нетрудно увидеть, что флюкция Ньютона — это производная. Однако его способ не был вполне определённым. Бесконечно малое количество было определено нестрого: в одних случаях им пренебрегали, отбрасывали, в других случаях на него делили, то есть считали ненулевым.
Ньютон видел огромную ценность найденного им абстрактного метода, однако, возможно, на начальном этапе ему было сложно выразить её более доступно.
Он поставил две главные проблемы анализа в терминах метода флюкций.
Первая проблема анализа: по данному соотношению между флюэнтами определить соотношение между флюкциями. Это задача дифференцирования функций, зависящих от «времени».
Вторая проблема анализа: по данному уравнению, содержащему флюкции, найти соотношение между флюэнтами. Это задача интегрирования дифференциального уравнения первого порядка.
Ньютон применил метод флюкций к большому кругу геометрических задач на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры и спрямления. Большое внимание он уделил интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, решил некоторые задачи вариационного исчисления.
С именем Ньютона связано решение многих взаимосвязанных задач математики и физики. Он рассматривал математику только как способ для физических исследований. Его основной труд, «Математические начала натуральной философии» (1687), проникнут духом новых исчислений, он показывает всё могущество этих исчислений в изучении законов природы. В этой работе он свёл все известные до него и все найденные им самим сведения о движении и силе в одну дедуктивную систему земной и небесной механики. В ней содержатся аксиоматическое построение механики, законы механики, закон всемирного тяготения, математически строго выведены эмпирические законы Кеплера движения планет, решение проблемы приливов и отливов, теории движения Луны.
Ньютон дал определение основных понятий механики — массы, плотности, количества движения, силы, пространства, времени. В этом же сочинении содержится развитая теория конических сечений, необходимая для исследования движения планет и комет. Кроме того, Ньютон впервые разработал общую теорию предельных переходов под названием «метода первых и последних отношений». Здесь вводится и сам термин предел (limes). Понятию предела определения не даётся, метод пределов излагается в 12 леммах.
Вклад Ньютона в математику не исчерпывается созданием анализа. Его «Универсальная арифметика» стала одним из первых учебников Нового времени по арифметике, алгебре и применению алгебры к геометрическим задачам. В алгебре ему принадлежат метод численного решения алгебраических уравнений (метод Ньютона), важные теоремы о симметрических функциях корней алгебраических уравнений (формулы Ньютона), об отделении корней уравнения.
В сочинении «Всеобщая арифметика» (1707) он развил учение о числе, дал определение числа: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное — кратной долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».
Универсальной (всеобщей) арифметикой Ньютон называл алгебру. В дальнейшей истории часто книги по алгебре назывались так же.
В «Методе разностей» (1711) учёный решил задачу о проведении через данные точки параболической кривой и предложил интерполяционную формулу, названную его именем. В «Перечислении кривых третьего порядка» (1704) дал классификацию этих кривых.
Ньютон усиленно разрабатывал вопросы оптики, открыл дисперсию света, построил первый рефлектор (1668). Разработал теорию цвета, основанную на наблюдении, что призма разделяет белый свет на цвета видимого спектра, тем самым заложив основы современной оптики.
Недостатки аналитических методов Ньютона вызывали нападки на теорию флюкций. В 1734 г. английский философ, епископ Джордж Беркли выпустил памфлет, известный под названием «Аналист» («Аналист или рассуждение, обращённое к неверующему математику, где исследуется, более ли ясно воспринимаются или более ли очевидно выводятся предмет принцип и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры»). «Аналист» содержал остроумную и во многом справедливую критику. Эти недоразумения были устранены лишь после чёткого установления современного понятия предела в работах Больцано и Коши.
Ньютон похоронен в английском национальном пантеоне — Вестминстерском аббатстве.
На статуе, воздвигнутой Ньютону в 1755 г. в Тринити-колледже, высечены стихи Лукреция: «Разумом он превосходил род человеческий» (Qui genus humanum ingenio superavit).
