Историко-методические учебные ситуации и задачи (УИМЗ) на тему «Паркеты»
Возможно, вы уже наслаждались причудливыми узорами на картинах известного голландского художника Маурица Эшера (1898–1972). Во многих его картинах изображены фигуры, покрывающие всю плоскость рисунка, и подчиняющиеся некоторым интересным закономерностям. Такие покрытия называются паркетами. Стоит подумать над тем, какие математические законы регулируют жизнь паркетов. Создайте свою «маленькую теорию» паркетов.
(1) Дано некоторое множество основных утверждений:
• (а) При заполнении плоскости многоугольниками любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.
• (б) Правильный паркет состоит из равных правильных многоугольников.
• (в) Плоскость можно замостить равными правильными треугольниками.
• (г) Плоскость можно замостить равными квадратами.
• (а) Существует правильный паркет, составленный шестиугольниками.
• (б) Существует конечное число способов замостить плоскость правильными многоугольниками.
• (в) Паркет нельзя сложить из любого правильного многоугольника.
• (г) Для любого четырёхугольника существует паркет, состоящий из четырёхугольников, равных исходному, то есть четырёхугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.
Задания
1. Ответьте на вопрос: нельзя ли среди основных утверждений выделить обосновывающие утверждения, из которых остальные или хотя бы некоторые, следуют? Если можно, то с опорой на интуицию отберите минимальный набор обосновывающих утверждений.
2. Докажите какие-нибудь из исследуемых утверждений на основе выбранного вами минимального набора обосновывающих утверждений.
3. Используя справочники или пособия по истории математики, определите, когда исторически, усилиями кого и как был введён рассматриваемый математический объект («Теория паркетов»). Кем были сформулированы и доказаны утверждения?
Ответы и историческая справка
Как это принято в математической теории, определите понятия «паркет», «правильный паркет», «полуправильный паркет». Какие ещё понятия вам понадобятся для представления такой теории?
Мы сразу же дадим ответы на эти вопросы, чтобы вы поняли, как это делается.
Изложение элементарной теории паркетов можно найти в различных книгах, например в учебном пособии: Смирнова И. М., Смирнов В. А. Многоугольники. Курс по выбору. 9 класс: учеб. пособие для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2007. – 64 с.
Паркеты с древнейших времён привлекали к себе внимание людей. Известно, что первые теоретические знания о паркетах сложились у пифагорейцев. Они догадались, что плоскость можно без дырок и наложений покрыть лишь тремя правильными многоугольниками: треугольниками, квадратами и шестиугольниками. С тех пор паркеты стали объектом изучения математиков, а не только художников. Многое сделали для развития теории паркетов отечественные учёные А. Д. Александров, Б. Н. Делоне, Е. С. Фёдоров, А. Н. Колмогоров.
1. Паркет или замощение — разбиение плоскости на многоугольники без пробелов и наложений. Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами. Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами.
2. Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет.
3. Существует 8 полуправильных паркетов.
