Качественные задачи по математике
И сразу вам образец такой задачи: начертите четыре окружности разной длины, сохранив неизменным раствор циркуля. На решение или обдумывание идеи — 1 минута.
Революционный шаг, идея — выход в пространство, обобщение понятия «окружность» в пространстве. Построение указанных в условии задачи окружностей проводится на поверхности тел вращения (сфера, конус) и на плоскости, если под иголку циркуля подкладывать тела разной высоты.
Где использовать и как решать качественные задачи
Каждому школьнику при изучении физики приходится решать качественные задачи (смотрите, например, книгу: Тульчинский М. Е. Сборник качественных задач по физике. — М.: Просвещение, 1965). Под таким названием выступают задачи, которым можно было бы дать название «практические вопросы», «вопросы на сообразительность», «логические задачи», «хитрые вопросы», «ехидные задачи», «устные задачи», «качественные вопросы», «проверочные вопросы», «задачи — вопросы». Кроме того, в методической литературе встречаются и другие названия задач, которые, по нашему мнению, являются качественными: «оригинальные задачи», «нестандартные задачи», «задачи без числовых данных», «красивые задачи».
Мы считаем, что понятие «качественная задача по математике» имеет право на существование. Главная особенность этих задач в том, что для их решения требуется, в первую очередь, обратить внимание на качественную сторону математического факта, присутствующего в задаче. Математические действия при решении такой задачи применяются минимально. Задача решается логически, основываясь на математических законах, правилах, формулах и теоремах.
Качественные задачи имеют такое же значение на уроках математики, как и задачи для устного счёта. В профильных гуманитарных классах на решение таких задач следует обратить даже большее внимание.
Главным в применении качественной задачи должно стать пробуждение познавательного интереса у учащихся. Для этого её эмоциональное воздействие должно быть усилено. Именно из этих соображений она должна быть «красивой», «зрелищной» задачей. Постановку и решение таких задач можно, по возможности, разыграть как мини-спектакль с использованием наглядных пособий, с декорациями.
Обычно для решения одной качественной задачи требуется 2–3 минуты. Но в таких задачах иногда встречаются и непредсказуемые ходы, неожиданные результаты. Учащиеся должны увидеть, что ответ удивительно прост, изящен. Они должны получить уверенность, что такие задачи решаются, что они доставляют удовольствие разуму. Качественные задачи применяются также во внеклассной работе. Они составляют важную часть математических КВН, викторин, брейн-рингов.
Итак, можно дать следующее определение. Качественные задачи — это оригинальные логические задачи, основанные на применении некоторых математических понятий, их свойств, решаемые по принципу сообразительности и фантазии, за короткий промежуток времени (30–60 сек), возможно в коллективной форме. Сюжет должен быть представлен наглядно, ярко, зрелищно и привлекательно.
Примеры задач
Приведём примеры различных типов качественных задач, чтобы вы получили удовольствие от их решения.
1. Найдите сумму углов при вершинах произвольной пятиконечной звезды. Указание: используйте сумму углов треугольника.
2. Чему равна дробь, в числители которой записано КАРЛСОН, а в знаменателе — ВАРЕНЬЕ? (К∙А∙Р∙Л∙С∙О∙Н / В∙А∙Р∙Е∙Н∙Ь∙Е). Разные буквы обозначают разные цифры, между буквами стоят знаки умножения. Указание: система счисления — десятичная.
3. Разделить торт на 5 частей по справедливости, то есть так, чтобы все остались довольны тем куском, который им достался.
4. Они ехали по треку. Они никуда не сворачивали. Их не стало. Сколько их было?
5. Продолжите ряд чисел: 111, 213, 141, 516, 171, ...
Решение таких задач доставит удовольствие не только детям, но и взрослым. Желаем удачи! Пишите, если понравятся, составим ещё.
Примечание
В этом тексте используется материал статьи из архивов нашей семьи: Новоженина Т. Е. Качественные задачи по математике // Математическое образование и наука в педвузах на современном этапе: Сб. науч. трудов / Отв. ред. А. Е. Малых. — Пермь: Пермский гос. пед. ун-т, 2006. — С. 241–244.