Математика Демокрита
Одним из признаков кризиса древнегреческой математики было открытие несоизмеримости. А связано оно с обращением к категории бесконечности. Различные учёные по-разному решали проблемы бесконечности.
Один из способов построения математики был предложен великим философом Демокритом.
Демокрит Абдерский (Δημόκριτος, ок. 460 до н. э. – ок. 370 до н. э.) — древнегреческий философ, один из основателей атомистики и материалистической философии.
Он был первым греческим учёным-энциклопедистом: занимался философией, математикой, физикой, астрономией, медициной, филологией, этикой, теорией музыки.
В сочинениях античных авторов упоминается около 70 различных трудов Демокрита, из которых до настоящего времени не сохранился ни один. Его богатейшее наследие дошло в виде всего 300 фрагментов.
В основе философии Демокрита — атом, как нечто неделимое, что не возникает и не исчезает, и является первоосновой всего существующего.
Демокрит перенёс свою философскую концепцию и в математику. Точка — это атом. Набор специально расположенных точек — прямая. Набор прямых — плоскость, набор плоскостей — пространство. Набор тончайших кругов — цилиндр или конус. Тела составляются из конечного числа элементарных частей, объём тела получается суммированием объёмов этих частей. Демокрит отрицает бесконечную делимость, несоизмеримость.
Атомистическая теория Демокрита непригодна для исследования непрерывных величин, так как для их понимания необходим предельный переход.
Например, пусть отрезок — непрерывная величина — есть бесконечное множество «неделимых» частей. Если их величина равна нулю, то и величина всего отрезка есть нуль. Если же каждое «неделимое» имеет некоторую величину, то величина отрезка будет бесконечной, так как малая величина, повторенная бесконечное число раз, может стать бесконечно большой. Поэтому нельзя определять меру отрезка как сумму мер «неделимых». Мера множества не равна сумме мер его элементов.
Тем не менее, идеи Демокрита были плодотворными и были позже развиты Архимедом. Считается, что Демокрит первым установил, что объём пирамиды и конуса равен соответственно одной трети объёма призмы и цилиндра с той же высотой и с той же площадью основания.
Подход Демокрита позднее лёг в основу средневекового «метода неделимых» (Б. Кавальери), который, в свою очередь, стал прообразом теории бесконечно малых величин и интегрального исчисления.
Даже в наши дни мы пользуемся аналогами понятия «атома» при постановке задач в математической физике.
Про математику греков можно узнать больше из книги «История математики».