Игра разума из XVII века: как победить в математической дуэли за 100 очков

В 1612 году французский поэт и математик, переводчик Клод Гаспар Баше де Мезириак (1581–1638) опубликовал сборник «Занимательные и приятные математические задачи» (фр. Problèmes plaisants et délectables).

Среди игровых задач выделялась простая, но глубокая задача: два игрока поочерёдно называют числа от 1 до 10, а побеждает тот, кто первым доведёт общую сумму чисел, названных обоими игроками, до 100.

Эта игра не только развлекала аристократов, но и заложила основы теории стратегий — за 400 лет до Джона Нэша («Игры разума») и его «закона равновесия» в теории игр.

Давайте поиграем вместе. Ну и как всегда в математической теории игр мы дополняем задачу условием: какой должна быть выигрышная стратегия, если она существует?

Решение

Для первого игрока существует выигрышная стратегия.

Он начинает с 1. Потом к каждому числу, названному вторым игроком, называет такую пару, чтобы сумма этой пары была равна 11. Такие пары всегда находятся однозначно: 1 + 10, 2 + 9, 3 + 8, 4 + 7, 5 + 6. Первый игрок контролирует игру.

Тогда после очередного хода первого игрока получаются «ключевые» числа 1, 12, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100. И он выигрывает. Второй игрок не может помешать этому. (Он может выиграть, только если первый игрок ошибётся на каком-то шаге. Тогда второй может сам прийти к этим ключевым числам.)

Баше рекомендовал начинать с 1 только при общей сумме 100. Фактически, это стратегия, основанная на модулярной арифметике.

Попробуйте найти выигрышную стратегию для другого варианта игры:

«Тот, кто начинает, говорит 1 или 2. Потом по очереди игроки называют числа, прибавляя к ним 1 или 2. Тот, кто скажет 20, выигрывает».

Историческая справка

Баше де Мезириак знал несколько языков, в том числе латинский, греческий, иврит, итальянский и испанский. Писал стихи на французском, итальянском и латыни. Преподавал сначала в иезуитском колледже в Милане. Переводил латинских поэтов и греческих математиков. Был одним из первых членов Французской академии (1635).

Огромный интерес в научном мире вызвала публикация им в 1621 году «Арифметики» Диофанта на греческом и в собственном переводе на латинский, с обширными комментариями. Этот перевод стал настольной книгой и источником новых открытий для Пьера Ферма и других выдающихся математиков XVII века. Именно на полях этой книги Ферма записал формулировку своей Великой теоремы.

Эта задача встречается в некоторых сборниках старинных и занимательных задач, например:

1. Баврин И. И. Сборник задач и занимательных упражнений по математике, 5–9 классы. — М.: ВЛАДОС, 2013. — 236 с.
2. Даль К. Понятная математика с Кристин Даль и Свеном Нурдквистом — М.: Белая ворона, 2017. — 64 с.

Примечание

Где ещё применяется алгоритм Баше?

Задача Баше — пример игры, где оптимальная стратегия существует и может быть вычислена (детерминированные стратегии).

Стратегия Баше легла в основу класса математических игр, где игроки поочерёдно берут предметы из куч.

Алгоритмы minimax, используемые в шахматах и го, восходят к идее «выигрышных позиций» Баше.

В криптографии модулярная арифметика, как и в стратегии числа 11, применяется в RSA-шифровании.

В психологии и педагогике этот метод используют для обучения детей паттернам (шаблонам) и критическому мышлению.