Номограмма
Номограмма (с др.-греч. noµos — «закон», γραμμα — «письменный знак, изображение», буквально «изображение законов») — специальный чертёж, предназначенный для решения определённого типа задач вычислительного характера, дающий возможность без вычислений находить численные значения величин (приближённого графического вычисления значения математической функции). В номограммах используется параллельная система координат, изобретённая Морисом д'Окань.
Например, бывают номограммы для решения приведённых квадратных уравнений (их можно найти в известном пособии «Четырёхзначные математические таблицы» В. М. Брадиса).
На номограммах вычислительная работа заменяется выполнением простейших геометрических операций, указанных в ключе пользования номограммой (например, прикладывания линейки), и считыванием ответов. В среднем номограммы могут обеспечить получение ответов с 2–3 верными значащими цифрами. Подобно логарифмической линейке, номограмма представляет собой графическое аналоговое вычислительное устройство, и, как и линейка, её точность ограничена точностью, с какой физические маркировки можно рисовать, воспроизводить и просматривать. Номограмму можно использовать в качестве альтернативы для проверки ответа, полученного в результате другого, более точного, но, возможно, подверженного ошибкам расчёта.
Принцип работы номограмм заключается в том, что каждый чертёж изображает некоторую область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией). Изображения значений переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.
Номограммы разделяются на три основных типа, в зависимости от способа изображения и способа задания функциональной зависимости между данными величинами:
• номограммы из выровненных точек,
Для уравнений с тремя переменными применяют три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой — отсюда и название типа номограммы: из выровненных точек. Примером может служить номограмма для таблицы умножения.
Для построения сетчатых номограмм из прямых линий применяются функциональные сетки, самые простые — логарифмическая и полулогарифмическая. На логарифмической бумаге вид прямых имеют графики степенных функций. На полулогарифмической бумаге с логарифмической шкалой по оси абсцисс вид прямых имеют графики логарифмических функций.
Транспарантные номограммы в простейшем случае состоят из двух плоскостей — основной плоскости и транспаранта — с изображениями на них переменных. Транспарант часто делается из прозрачного материала. Пример транспарантной номограммы — логарифмическая линейка.
При построении сетчатых номограмм может быть поставлена дополнительная задача, анаморфоза: найти такое преобразование, при котором все три семейства линий номограммы обращаются в семейства прямых, что упрощает её вычерчивание.
Номограмма может использоваться для приблизительного вычисления некоторых значений, необходимых при выполнении известного статистического теста хи-квадрат Пирсона. Эта номограмма демонстрирует использование изогнутых шкал с неравномерно расположенными градуировками.
Историческая справка
Использование простых графических таблиц для вычислений восходит к античности. Во времена Гиппарха эти методы были общепринятыми для решения сферических треугольников. В новое время номограммы получили распространение во второй половине ХIX в. Их ввёл парижский инженер и математик Л. Л. Лаланн. Он применил неординарные шкалы на параллельных осях, осуществил спрямление графика (1842). Это преобразование он назвал «анаморфозой». Идея была подхвачена и использована в работах учёных разных стран.
Творцом общей теории номограмм считается французский математик Морис д’Окань, который опубликовал ряд работ по теории «считающих чертежей» в период с 1884 по 1894 г. Именно он и назвал их «номограммами» (Traite de nomographie, 1899).
Раздел математики, в котором изучается теория и практика построения номограмм, называется номографией. Большая заслуга в развитии отечественной номографии и организации номографирования инженерных расчётов принадлежит профессорам Н. А. Глаголеву и А. А. Глаголеву.
Развитие получила машинная номография: разработаны системы процедур и стандартных программ для расчёта и построения элементов номограмм с помощью компьютеров. Например, решён вопрос переноса графика с рисунка в Excel или построения какой-либо диаграммы или номограммы.
Почитать по теме:
1. Александрова Н. В. Математические термины. — М.: Высшая школа, 1978. — 190 с.
2. Брадис В. М. Теория и практика вычислений. — М.: Учпедгиз, 1935. — 281 с.
3. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы. — М.: Просвещение, 1990. — 95 с.
4. Большая Советская Энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 3-е изд., 1970–1978.
5. Компанийц П. А. Простейшие геометрические расчёты. — Л.: Учпедгиз, 1957. — 63 с.
6. Мантуров О. В. Толковый словарь математических терминов / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин. — М.: Просвещение, 1965. — 540 с.
7. Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — 1184 с.
8. Хованский Г. С. Основы номографии. — М.: Наука, 1976 — 352 с.