Проценты
Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении основной единицы (массы, денег, а затем и любой величины) на 12 долей, которые назывались унциями. Римлянин мог сказать, что он прошёл семь унций пути. Таким образом, унция у римлян имеет смысл 1/12 от любой величины.
Римляне брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили, например: «на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы».
В таких расчётах дроби получают применение в качестве некоторых единиц измерения. Такие единицы привели к понятию процента. Об истории процентов можно прочитать в «Истории арифметики» И. Я. Депмана.
Историко-методические ситуации и задачи на проценты
1. Словом «процент» мы пользуемся очень часто. Оно вошло в каждый школьный предмет, а также в повседневную практику в любом виде человеческой деятельности. Но так ли было всегда? Ведь по учебникам, литературным произведениям, по телепередачам мы знаем, что этим термином больше пользовались и теперь пользуются банкиры, бизнесмены, экономисты. Приведите примеры употребления процентов в повседневной жизни и науке. Где они чаще всего встречаются?
2. Отметьте знаком «+» верные высказывания, а знаком «–» — неверные:
• Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum;
• Проценты дают возможность сравнивать части между собой;
• Идея процентов родилась у вавилонян;
• Римляне называли процентами деньги, которые они получали в качестве прибыли на каждую сотню;
• На практике удобнее пользоваться тысячными долями — «промилле»;
• Знак % происходит от операции деления на сто;
• Странное слово «скрупулёзно» происходит от римского названия «scrupulus».
3. Прочитайте и проанализируйте следующий текст из книги Г. И. Глейзера «История математики в школе: IV–VI кл.», посвящённый истории процентов. Отметьте заинтересовавшие вас факты различными значками: «V» — «это я знаю»; «+» — «это интересно, неожиданно»; «–» — «я думал иначе»; «?» — «я хочу узнать об этом больше». Такую форму чтения текста называют интерактивной системой эффективного чтения и размышления.
«Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это даёт возможность упрощать расчёты и легко сравнивать части между собой и целым.
Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. (Ряд задач клинописных табличек посвящён исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».)
Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных ссылках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Ныне процент — это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).
В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille — «с тысячи»), обозначаемые ‰, по аналогии со знаком процента — %. Однако на практике в большинстве случаев «тысячные» — слишком мелкие доли, десятые же доли слишком крупные. Поэтому больше всего удобны сотые доли, иначе говоря, проценты».
4. Напишите три вопроса о процентах, на которые вы хотели бы получить ответ. Например, как назвать вавилонские «проценты», ведь они берутся не со ста?
Вопросы могут быть фактологические (Кто? Что? Когда?) или творческие (Объясните, почему? Почему вы считаете? В чем различие? Что будет, если…?).
5. Объясните решение задачи, приведённой у Г. И. Глейзера.
У знаменитого римского поэта Горация даётся беседа учителя с учеником в одной из римских школ этой эпохи:
«Учитель: Пусть скажет Сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию?Ученик: Одна треть.Учитель: Правильно, ты сумеешь беречь своё имущество».
6. Вернёмся к заданию 2. Проверьте ваши ответы, правильно ли вы думали. Что нового вы узнали? На какой вопрос не получили ответа?
Ответы и историческая справка
1. Процентные операции широко практиковались в Вавилоне, о чём свидетельствуют дошедшие до нас таблицы процентов. Термин «процент» не подходит к вавилонским ростовщическим операциям, ибо наращённый капитал рассчитывался не со ста, а с шестидесяти единиц. Брали в год 12 шекелей с 1 мины, равной 60 шекелям, то есть по нашей нумерации 20%. Эта «просексагинтная» такса устанавливается во всех задачах.
В период XIII–XVI вв. все учебники уделяют процентным вычислениям очень большое место, так как торговые круги составляли очень большую часть потребителей этих учебников (Леонардо Пизанский, Лука Пачоли). Арабские учебники арифметики и алгебры, которые служили источниками и образцами для европейских авторов, были заполнены задачами на расчёты имущества по весьма сложному мусульманскому наследственному праву. Первые печатные процентные таблицы издал Симон Стевин (1584) и включил их в свою «Арифметику» (1585).
2. Термин «капитал» происходит от латинского «caput» — «голова, глава»: это та сумма, которая заносилась в книги во главе расчётов. Термин «интерес» — от латинской фразы id quod inter est — то, что между одолженным капиталом и полученным обратно.
Иногда мы говорим: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос». Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. Это слово происходит, оказывается, от римского названия 1/288 части единицы — «scrupulus», это 1/24 части унции.
Задач на проценты у Л. Ф. Магницкого в «Арифметике» почти нет. Объясняется это тем, что векселя в обиходе купцов были разрешены только в 1729 г.
3. Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента.