Справедливый раздел делимых предметов
На практике людям часто приходится делить какие-нибудь предметы на несколько частей по некоторому принципу. Например, на равные части можно поделить однородные предметы, количество и качество которых позволяет такое разделение: множество пирожков на всех, куча угля или песка, монеты одинакового достоинства. Но бывает и так, что приходится делить неоднородные предметы или такое количество вещей, которое не делится на равные части: один торт или арбуз на всех, предметы быта, одежду. В этих случаях может помочь теория справедливого раздела.
Под справедливым разделом мы будем понимать такой раздел, при котором все заинтересованные лица остаются довольными той долей, которая им причитается после дележа.
Общей теории справедливого раздела, пригодной для всех случаев, не существует. Мы охарактеризуем лишь несколько типичных практических задач и на их основе попытаемся понять общую математическую теорию, а также описать единый алгоритм, пригодный для обобщения этих случаев.
Представим, что участники делят между собой одинаковые предметы, тогда справедливый раздел совпадает с разделом на равные части. Например: есть 20 одинаковых конфет, их нужно разделить между 5 детьми. В этом случае раздел будет справедливым, если каждый ребёнок получит по 4 конфеты. По этому же принципу делятся любые предметы, которые можно разрезать и точно измерить.
Если же делимые предметы нельзя измерить (по крайней мере в момент раздела), то деление должно происходить по другим алгоритмам. Например: нужно разделить торт между несколькими людьми по справедливости. Здесь есть чёткий алгоритм действий.
Если торт делят между двумя людьми, то поступают так: один делит (разрезает), другой выбирает. При этом ни один из партнёров не может считать себя обойдённым. Первый партнёр обеспечивает свою долю тем, что разрезает торт на части, которые кажутся ему равноценными. Второй партнёр, по меньшей мере, не обделяет себя, выбирая лучшую долю.
Если нужно разделить торт между тремя и более партнёрами, то поступают следующим образом. Объясним на примере пяти человек (так же можно поступить для иного числа партнёров) — обозначим их A, B, C, D, E.
А отрезает от торта порцию, равную, по его мнению, 1/5 части. В, если пожелает, может уменьшить эту порцию. После этого уменьшенная или первоначальная порция переходит к С. Он также может её уменьшить, либо не менять и т. д. Таким образом все участники дележа воспользуются своим правом уменьшать или оставлять первую порцию без изменений. В конце порцию получает тот из участников, кто отрезал от неё последним, и он выбывает из дележа. Оставшийся торт по тому же принципу делится между оставшимися участниками. И на каждом этапе выбывает один участник. В конце остаются двое, которые делят оставшийся торт по принципу «один делит, другой выбирает».
При таком дележе каждый участник получает ту долю, которая его устраивает, так как он сам её выбирал.
Понятно и общее правило дележа между n участниками: на каждом этапе начинающий должен отрезать порцию, которая, по его мнению, составляет 1/n часть торта. Если участник не является начинающим и считает порцию, отрезанную предыдущим партнёром, больше 1/n, то он должен уменьшить её до 1/n, по его мнению. Если же эта порция, по его оценке, составляет 1/n или меньше, ему следует оставить её без изменения. Это правило позволяет каждому участнику получить, как минимум, такую долю, которая ему причитается по его собственной оценке.
Так же можно разделить, например, кучу угля или песка, фрукты и овощи, и даже жидкости.
Ещё по этому способу можно сыграть в игру. Участники игры складывают из одинаковых монет равные суммы денег. Куча денег помещается внутри листа бумаги на столе. Затем происходит деление этой кучки. Вместо ножа пользуются грабельками или вилками. Монеты разрешается передвигать только одним движением грабелек. Здесь часто выигрывает тот человек, у которого большая ловкость рук и хороший глазомер.