Проблема Архимеда о быках Солнца: серьёзно-шутливый вызов друзьям-соперникам

В 1773 году немецкий поэт и учёный Готхольд Эфраим Лессинг обнаружил в библиотеке Вольфенбюттеля древнегреческую рукопись с необычной задачей.

В ней великий Архимед предложил александрийским математикам в письме, адресованном своему критику Эратосфену Киренскому, такую задачу-вызов. В ней требуется узнать число быков и коров в четырёх стадах, принадлежащих богу Солнца Гелиосу, поэтому её обычно называют задачей Архимеда о быках (The Cattle Problem of Archimedes). Это число удовлетворяло набору загадочных арифметических условий. Так началось путешествие на века одной из самых сложных диофантовых задач в истории, чьё решение заняло более 2000 лет.

Задача была написана в стихах:

«… Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь, Нам раздельно назвав тучных быков число, Так же раздельно коров, сколько каждого цвета их было, Не назовёт хоть никто в числах невеждой тебя, Всё ж к мудрецам ты причислен не будешь…»

Архимед предлагает найти количество быков и коров разного цвета (белые, тёмные, рыжие, пёстрые) при следующих условиях в первой части:

• у Гелиоса имелось четыре стада, каждое из которых отличалось по цвету;
• количество белых быков равно (1/2 + 1/3) тёмных + всем рыжим быкам;
• тёмных быков равно (1/4 + 1/5) пёстрых + всем рыжим быкам;
• пёстрых быков равно (1/6 + 1/7) белых + всем рыжим быкам;
• белых коров равно (1/3 + 1/4) тёмного стада;
• тёмных коров равно (1/4 + 1/5) пёстрого стада;
• пёстрых коров равно (1/5 + 1/6) рыжего стада;
• рыжих коров равно (1/6 + 1/7) белого стада.

Вторая часть задачи включает дополнительные условия:

• общее количество белых и тёмных быков — квадратное число;
• общее количество пёстрых и рыжих быков — треугольное число.

Решение

Как бы сложно вам ни было, можете сначала попробовать принять вызов самого Архимеда и попытаться решить задачу самостоятельно.

Решение первой части задачи сводится к системе из семи линейных уравнений с восемью неизвестными. Обозначим эти неизвестные по цветам стад: быки — Б, Т, Р, П, коровы — б, т, р, п.

Составим систему линейных уравнений:

Б = (1/2 + 1/3)Т + Р
Т = (1/4 + 1/5)П + Р
П = (1/6 + 1/7)Б + Р
б = (1/3 + 1/4)(Т + т)
т = (1/4 + 1/5)(П + п)
п = (1/5 + 1/6)(Р + р)
р = (1/6 + 1/7)(Б + б)

Вторая часть требований, дополнительные условия, приводят к решению неопределённого уравнения второй степени с двумя неизвестными:

x² – 4729494y² = 1 (уравнение Пелля)

Но до него ещё дойти надо! Мы только дали контрольную точку. Она сводится к задаче: «найти такое квадратное число, которое, будучи взято 51 285 802 909 803 раз, окажется равным некоторому треугольному числу».

Примечание

Треугольными называются числа 1, 3, 6, 10, …, или в общем виде — сумма членов арифметической прогрессии 1, 2, 3, … Они представляются в виде n(n + 1)/2.

Квадратными называются числа 1, 4, 9, 16, …, или в общем виде — сумма членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, … Они представляются в виде n².

Искомые восемь неизвестных выражаются числами порядка более чем 200 000 цифровых знаков. Решение задачи было опубликовано в 1880 году. Общее количество быков приближённо равно 7.76 × 10²⁰⁶⁵⁴⁴. Чтобы записать все 206 545 цифр числа необходимо 660 страниц с 2500 знаков на каждой.

Впервые точное числовое значение решения задачи о быках было распечатано в 1965 году с использованием компьютерной техники.

Числа в решении настолько велики, что превышают количество частиц во Вселенной, что подчёркивает сложность задачи. Архимед предложил эту задачу как интеллектуальный вызов своим современникам, зная, что она не имеет практического применения, но демонстрирует красоту математики.

Задача физически не могла быть решена в то время. И лишь в 1965 г. «Задача Архимеда о быках» была, наконец, решена в США с помощью ЭВМ группой учёных: С. Вильямсом, Р. А. Германом и С. Р. Зарнке. Для этого потребовалось 7 часов 49 минут работы вычислительной машины IBM 7040.

Вывод: даже простая арифметика может поставить невычислимые на практике проблемы.

Историческая справка

Вот полный текст задачи Архимеда, написанной в стихах (в переводе):

Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец. (Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.) Как на полях Тринакрийский Сицилии острова тучных Их в четырёх стадах много, когда–то паслось. Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым, Тёмной морской волны другого был цвет, Рыжим третье было, последнее пёстрым. И в каждом стаде была самцов множество тяжкая мощь, Всё же, храня соразмерность такую: представь, чужестранец, Белых число быков в точности было равно Тёмных быков половине и трети и полностью рыжим; Тёмных число быков четверти было равно Пёстрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим; Пёстрой же шерсти быков так созерцай число: Части шестой и седьмой от стада быков серебристых Также и рыжим всем ты их число поравняй. В тех же стадах коров было столько: число белошёрстных В точности было равно тёмного стада всего Части четвёртой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе; Тёмных число же коров части четвёртой опять Пёстрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь И туда же быков в общее стадо причтёшь. Те же, чья пёстрая шерсть, равночисленным множеством были Рыжего стада частям пятой и с нею шестой. Рыжих коров же считалось количество равных полтрети Белого стада всего с частию взятой седьмой. Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь, Нам раздельно назвав тучных быков число, Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было, Не назовёт хоть никто в числах невеждой тебя, Всё ж к мудрецам причислен не будешь. Учти же, пожалуй Свойства какие ещё Солнца быков числа. Если быков среброшерстных ты с тёмными вместе смешаешь Так, чтобы тесно они стали бы в ширь и в длину Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских Плотным квадратом они площадь большую займут. Если же рыжих и пёстрых в одно ты смешаешь стадо, Лесенкой станут они, счёт с единицы начав, Так что фигуру они треугольную нам образуют; Цвета иного быков нам нет нужды добавлять. Если ты это найдёшь, чужестранец, умом пораскинув, И сможешь точно назвать каждого стада число, То уходи, возгордившись победой, и будет считаться, Что в этой мудрости ты всё до конца превзошёл.

Список литературы

1. Архимед. Сочинения / Пер., вступительная статья и коммент. И. Н. Веселовского. Пер. арабских текстов Б. А. Розенфельд. — М.: Физматгиз, 1962. — 640 с.
2. Баврин И. И. Сборник задач и занимательных упражнений по математике, 5–9 классы. — М.: ВЛАДОС, 2013. — 236 с.
3. Щетников А. И. Задача Архимеда о быках, алгоритм Евклида и уравнение Пелля // Математическое образование, 2004. — выпуск 3. — С. 2–16.