Парадоксы Зенона Элейского
С давних времён для познания картины мира философы вводили категории «движение» и «покой», «непрерывность» и «дискретность», «бесконечное» и «конечное». Вселенная бесконечна, бесконечно разнообразие форм окружающего мира, бесконечно время, а его непрерывное течение измеряется дискретными величинами.
Все эти категории существуют и в математике: числовой ряд — бесконечен, прямая — бесконечна. С проблемой бесконечных процедур и величин греческие учёные столкнулись и при попытках квадрирования и спрямления, то есть вычисления площадей фигур и длин линий.
При дедуктивном построении математики неизбежна ссылка на категорию бесконечности. Особое значение она приобрела с открытием несоизмеримости. Различные учёные по-разному решали проблемы бесконечности. Отсутствие чётких правил его использования нередко приводило к противоречиям. Встал вопрос о возможности дедуктивного изложения математики.
Не обошли эти категории и греческие философы-математики, например, Анаксагор (V в. до н. э) и Демокрит (ок. 460–380 гг. до н. э.).
Возникшие трудности ярко представлены в парадоксах (или апориях, антиномиях) Зенона Элейского (ок. 490–430 гг. до н. э.) — древнегреческого философа. Их сформулировал и подробно изучал Аристотель. Из 45 апорий (от греч. απορια — трудность) до нас дошли только 9. Они подчёркивают противоречия в объяснении движения и времени с использованием бесконечности, но не пытаются решить их.
1. «Ахиллес и черепаха»
«Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась на некотором расстоянии впереди него».
Ахиллес быстрее черепахи, но, чтобы её догнать, ему надо сначала пройти точку C, из которой черепаха начала движение. Когда Ахиллес попадёт в C, черепаха переместится в точку C₁. Ахиллес не сможет догнать черепаху, пока не попадёт в C₁, но черепаха к тому времени переместится дальше в точку C₂ и т. д.
2. Дихотомия (рассечение пополам): «Движение невозможно»
Чтобы пройти из A в B, надо пройти половину AB₁ расстояния AB, чтобы достичь B₁, нужно достичь B₂ на полпути от A до B₁ и так до бесконечности. Так как отрезков бесконечно много, движение никогда не может начаться.
3. «Летящая стрела не движется»
В каждый неделимый момент времени стрела находится в покое. В противном случае момент был бы делим, так как существовало бы начальное и конечное положение стрелы. Если отрезок времени полёта — сумма таких неделимых моментов, то стрела всё время находится в покое.
Аргументы Зенона показали, что конечный отрезок можно разбить на бесконечное число малых отрезков, каждый из которых имеет конечную длину. Если считать, что прямая состоит из точек, то мы встречаемся с затруднениями.
Научные дискуссии, вызванные этими парадоксальными рассуждениями, продолжаются и в настоящее время.
Несоизмеримые отрезки Пифагора и парадоксы Зенона явились первым логическим кризисом в построении древнегреческой математики. Ошибочно воспринимать эти рассуждения как софизмы или полагать, что с появлением высшей математики все апории были разрешены. Проблемой апорий занимались философы Аристотель, Эпикур, Кант, Гегель, математики и физики Д. Гильберт и П. Бернайс, Р. Курант и Г. Роббинс, Николя Бурбаки, С. А. Яновская и Р. Фейнман.
Результатом осмысления апорий Зенона стало чёткое различение потенциальной и актуальной бесконечности.