Три классические задачи древности

Открытие несоизмеримости заставило философов Греции начать поиски путей выхода из кризиса математики. Греки начали строить математику не на основе арифметики рациональных чисел, а на основе геометрии. Была создана так называемая геометрическая алгебра. Основными объектами в ней служили отрезки и прямоугольники, над которыми были определены операции сложения и вычитания.

Не имело смысла говорить о сложении разнородных величин, например, прямоугольников и отрезков, поэтому исчисление, определённое в геометрической алгебре, было ступенчатым. Все правила, теоремы и задачи формулировались в терминах отношений между длинами отрезков и площадями прямолинейных фигур.

Геометрические построения выполнялись с помощью прямых и окружностей, то есть греческая математика стала теорией построений с помощью циркуля и линейки. Возник вопрос: можно ли любую геометрическую задачу решить так же? Уже в V в. до н. э. появились задачи, не поддававшиеся решению при помощи циркуля и линейки. Это знаменитые три классические задачи древности, которые были окончательно решены только в XIX в.

1. Удвоение куба. Построить куб, объём которого в два раза больше объёма данного куба.

2. Трисекция угла. Произвольный угол разделить на три равные части.

3. Квадратура круга. Построить квадрат, равновеликий данному кругу.

Задачу об удвоении куба называют «Делосской проблемой» в связи с известной легендой. На острове Делос вспыхнула чума. Жители обратились за советом к оракулу. Он сказал, что нужно удвоить золотой жертвенник богу Аполлону, имеющий форму куба. Делосцы отлили ещё один куб, но чума не унималась.

Они неправильно решили задачу. Алгебраически задача об удвоении куба сводится к кубическому уравнению. А его решение — построению отрезка, равного корню кубическому из 2. Грекам это не удалось.

Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) эту задачу свёл к отысканию двух средних пропорциональных величин — «вставок», образующих непрерывную пропорцию.

Архит Тарентский (428–365 гг. до н.э.) решил задачу с помощью некоторой пространственной кривой, то есть это решение не являлось классическим. Другие математики (Платон, Эратосфен, Герон, Никомед), пытавшиеся решить эту задачу, тоже использовали другие механизмы, отличные от циркуля и линейки.

Задача трисекции угла тоже сводится к кубическому уравнению. Но получить такое уравнение в древности не могли. Это сделали математики Востока в средние века. Лишь в 1837 г. французский математик Пьер Ванцель (1814–1848) доказал, что кубические уравнения, к которым сводятся задачи удвоения куба и трисекции угля, в общем случае неразрешимы в квадратных радикалах, и поэтому не могут быть решены с помощью циркуля и линейки. Хотя в частных случаях, некоторые углы поддаются трисекции, например, прямой угол.

Первое решение задачи трисекции угла неклассическими средствами сделал Гиппий из Элиды (V в. до н. э.). Он дал способ построения особой линии (трисектрисы, названной Лейбницем квадратрисой в частном случае), с помощью которой было найдено решение задачи трисекции угла.

Задачу о квадратуре круга можно также решить с помощью квадратрисы, что сделал ученик Гиппия Динострат (IV в. до н.э.). Так как задача сводится к уравнению, содержащему π (пи), то она равносильна построению отрезка, равного π.

В 1882 г. немецкий математик Карл Линдеман (1852–1939) строго доказал трансцендентность числа π. Оно не может быть корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Поэтому невозможно решение задачи квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.

В процессе решения этих задач древности математики столкнулись и с другими проблемами, например, построение правильных многоугольников. Они дали толчок дальнейшему развитию математики.

О классических математических задачах древности можно узнать больше из книги «История математики».

#историяматематики #Классические_задачи_древности #Удвоение_куба #Трисекция_угла #Квадратура_круга