Универсальный гений: Лейбниц
«Покровительство наукам всегда было моей главной целью, только недоставало великого монарха, который достаточно интересовался бы этим делом».
Г. В. Лейбниц
Готфрид Лейбниц родился 21 июня (1 июля) 1646 г. в Лейпциге, Саксонии, Священная Римская империя.
Гениальный немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц упоминается в первую очередь как один из основоположников математического анализа, хотя он также был физиком, философом, изобретателем и языковедом. Развивал ещё и многие науки: логику, историю, юриспруденцию, дипломатию, биологию, геологию, психологию. Лейбниц считается одним из самых всеобъемлющих гениев за всю историю человечества.
Окончил юридический факультет Лейпцигского университета, математику изучал в Йенском университете. Состоял на юридической и дипломатической службе и выезжал в Париж, где началась его творческая математическая деятельность. Именно в Париже он познакомился с Гюйгенсом и под его руководством изучал работы Галилея, Декарта, Ферма, Паскаля и самого Гюйгенса. Большую часть жизни провёл в Ганновере, был библиотекарем, библиографом и тайным советником юстиции ганноверского герцога.
В 1700 г. Лейбниц организовал Академию наук в Берлине и стал её первым президентом. Член Лондонского королевского общества (1673), иностранный член Французской Академии наук. Способствовал открытию академий наук в Вене и Петербурге. Встречался с Петром I, работал над проектом организации образования в России.
Можно долго перечислять его различные научные достижения. Открыл кинетическую энергию. Создал теорию геологической эволюции, психологии подсознания. В дипломатии старался содействовать объединению немецких государств. Предсказал появление Европейского союза.
Лейбниц нашёл своё новое математическое исчисление в 1673–1676 гг. под влиянием Гюйгенса, в ходе изучения работ Декарта и Паскаля. Он знал, что Ньютон обладал подобным методом. Однако подход Ньютона был механическим, а подход Лейбница — геометрическим. При этом он исходил не из квадратуры кривых, как Ньютон, а из проблемы касательных. Рассматривал характеристический треугольник: (dx, dy, dz), который уже встречался у Паскаля. Прежние частные и разрозненные приёмы Лейбниц свёл в единую систему взаимосвязанных понятий анализа, что позволило производить действия с бесконечно малыми по определённому алгоритму.
Анализ в форме Лейбница впервые был изложен им в печати в 1684 г. в статье «Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого». В ней вводились символы dx, dy, правила дифференцирования произведения и частного, условие для точек экстремума, условие для точек перегиба.
Разъяснения анализа Лейбница отличались той же нестрогостью и неопределённостью, что и у Ньютона. Иногда dx, dy были конечными величинами, иногда меньше любого определённого количества и всё-таки не нули.
В 1686 г. вышла следующая статья «О скрытой геометрии…» с правилами интегрального исчисления. В ней содержался символ: ∫, который Лейбниц называл «суммой» (термин интеграл позже ввёл Я. Бернулли).
Лейбниц был одним из самых плодотворных изобретателей современных математических терминов и символов. Немногие математики так хорошо понимали единство формы и содержания символики. Название «дифференциальное и интегральное исчисления» также принадлежит Лейбницу. Он же ввёл и термины функция, переменная величина, координаты, абсцисса, ордината, дифференциал, алгоритм. Благодаря его влиянию учёные стали пользоваться знаками равенства «=», умножения «·» и логической символикой.
Математические работы Лейбница не ограничиваются областью анализа. Учёный занимался поиском всеобщего метода для овладения науками. Он искал «всеобщий язык», в котором все ошибки мысли выявились бы как ошибки вычислений. Это привело его к символической логике. Таким образом, Лейбниц считается одним из основоположников математической логики.
Лейбница можно считать идейным вдохновителем и современной машинной математики. Он одним из первых сконструировал счётную машину, которая выполняла не только сложение и вычитание, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет Лейбниц посвятил усовершенствованию своего изобретения. Изобрёл он и первый интегрирующий механизм. Он стоял у самых истоков современной информатики.
Современная двоичная система была полностью описана им в работе Explication de l’Arithmétique Binaire. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о Книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Лейбниц, возможно, был первым программистом и информационным теоретиком. Он дал проект вычислительной машины, работающей в двоичной системе, в которой использовался прообраз перфокарты.
Лейбниц ввёл понятие определителя и выдвинул некоторые идеи, касающиеся теории определителей, которые далее развивали Вандермонд, Коши, Гаусс и окончательно разработал К. Г. Я. Якоби.
Влияние работ Лейбница на современников оказалось огромным. Он создал собственную математическую школу, в которую входили братья Бернулли, Лопиталь и Эйлер. Он первым нарушил и вековую традицию писать научные труды только на латинском языке.
Очень много написано по вопросу о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления. Установлено, что Ньютон и Лейбниц открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл свои методы анализа (1665–1666 гг.), а Лейбниц позже (1673–1676 гг.), но Лейбниц первым выступил в печати (Лейбниц в 1684–1686 гг., Ньютон в 1704–1736 гг.).
К концу жизни Ньютону пришлось вступить в долгий спор с Лейбницем о приоритете. Начало спору положили не они сами (1699), но вскоре приняли в нём деятельное участие. Острая и пристрастная полемика, в которую было вовлечено множество учёных, испортила немало крови Ньютону и Лейбницу. Они оба далеко отошли от высокой первоначальной оценки взаимных заслуг.
Этот спор, разросшийся до размеров международной распри, имел печальные последствия для науки. Английские математики отказывались от применения алгоритмов Лейбница, а математики континента оказывали невнимание к достижениям школы Ньютона. Так продолжалось более ста лет. Спор между Лейбницем и Ньютоном о научном приоритете стал известен как «наиболее постыдная склока во всей истории математики».
Формула Ньютона–Лейбница, или основная теорема анализа, даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла и вычислением первообразной. Она устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Как неразлучны эти исчисления, так неразрывны взаимоотношения этих двух гениев в истории и их заслуги.
Дени Дидро в «Энциклопедии» отметил, что для Германии Лейбниц был тем, чем для Древней Греции были Платон, Аристотель и Архимед, вместе взятые. Норберт Винер говорил, что, если бы ему предложили выбрать святого — покровителя кибернетики, то он выбрал бы Лейбница.
