Выборы по системе пропорционального представительства
Во многих странах парламентские выборы проводятся по системе пропорционального представительства партий. Рассмотрим, как можно справедливо поделить мандаты на выборах.
Пусть в некотором округе должны быть избраны 5 членов парламента, а в выборах участвуют 3 партии А, В, С. Эти партии делят между собой мандаты пропорционально числу голосов, поданных за списки их кандидатов. Для примера, пусть проголосовало 150000 граждан, из них 43500 — за партию А, 69000 — за В и 37500 — за С.
По системе пропорционального представительства число мандатов будет:
• для партии А: 43500 × 5 / 150000 = 1.45;
• для партии В: 69000 × 5 / 150000 = 2.3;
• для партии С: 37500 × 5 / 150000 = 1.25.
Возникают затруднения с дробями. Они могут учитываться по-разному. Сначала места распределяются, согласно целым частям, то есть A и C получают по одному мандату, B — два мандата. Затем сравниваются дробные остатки: 0.45, 0.3 и 0.25. Наибольший из них — 0.45, поэтому оставшийся свободный мандат получает А.
В результате A получает 2 мандата, B — 2, С — 1.
Описанная выше система распределения мандатов связана с «системой наибольших остатков». Для этой системы существует интересная наглядная геометрическая интерпретация.
Рассмотрим правильный многоугольник, число сторон которого равно числу партий. На рисунке ниже изображён «треугольник распределения мандатов», так как для нашей задачи таких партий три. Вводим масштаб, например, 1 мм соответствует 1500 голосам, то есть 150 000 голосов соответствует 10 см. Для нашей задачи используется равносторонний треугольник с высотой равной 10 см. Тогда его стороны равны 20√3/3 ≈ 11.55 см. Далее нужно провести в треугольнике отрезки, параллельные высотам и делящие стороны на 10 равных частей для удобства. Некоторые точки пересечения этих отрезков далее дадут нам вершины искомых областей.
Стороны треугольника обозначим A, B, C — это три наши партии. Тогда каждая точка внутри треугольника соответствует одному из возможных исходов голосования. Это следует из того, что сумма расстояний из любой точки внутри правильного треугольника до его сторон постоянна и равна его высоте.
Множество точек, отвечающих каждому распределению мандатов, составляет часть нашего треугольника. Например, множество точек, отвечающих распределению (2, 2, 1), образует правильный шестиугольник. Это объясняется тем, что границей перехода к другому распределению является отрезок прямой, параллельный какой-либо высоте треугольника. Три пары таких отрезков составят правильный шестиугольник.
Если провести прямые, параллельные основаниям, на расстоянии 43500 / 1500 = 29 мм. от A, 69000 / 1500 = 46 мм. от В, 37500 / 1500 = 25 мм. от С, то они пересекутся в точке М, соответствующей исходу выборов. Эта точка лежит в области 221 (для данного случая). Это означает, что партия А имеет 2 мандата, B — 2, С — 1.
При системе наибольших остатков имеется некоторый парадокс. Может случится так, что при повторном голосовании, в котором примут участие такое же число избирателей, партия А потеряет мандат, хотя и соберёт большее число голосов. Например, в точке N партия А собрала больше голосов, В потеряла голоса, С тоже собрала больше голосов, а мандаты распределены так: А — 1, B — 2, C — 2. Это зависит от значения дробных частей, как было описано в начале статьи.
Существуют и другие системы пропорционального распределения, но ни одна из них не свободна от парадоксов.
В России пропорциональная избирательная система применяется на выборах в Государственную думу (с 2007 года) и на выборах в депутаты законодательных (представительных) органов субъектов Российской Федерации. Её практическая реализация стала делом математиков.