Что такое Математика? Нәрсә ул Математика? What is Мath?
«Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит».
«Кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не сможет обнаружить своего невежества».
Математику, точнее её разделы (арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, теорию вероятностей) изучают все, кто учится в школе. Но что это за наука, в школе не рассматривается. Если спросить об этом кого-нибудь, не специалиста, он начинает объяснять, какая это нужная наука, но чёткого определения не даёт.
А вообще возможно ли это? Например, хотя бы учителя математики должны понять, что возможно дать только описательное определение математики. Какое бы не давали определение, всегда остаются те грани этой науки, которые оказываются за пределами этого определения. Вопрос о том, что представляет собой, в конечном счёте, математика, остаётся открытым. Но попытаемся всё же, понять и объяснить, что такое математика.
В научной и методической литературе предложено много различных определений математики.
1. Знаменитая статья академика А. Н. Колмогорова «Математика» (1954) в Большой Советской Энциклопедии начинается с такого определения предмета математики: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал». Вместе с тем он подчёркивает, что запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется в связи с запросами естествознания, так что это определение наполняется всё более богатым содержанием.
2. Математика (др.-греч. μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
3. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая общие языковые средства другим наукам.
4. Математикой в разговорной речи называют точный расчёт, продуманные действия, которые требуются для чего-либо.
Математика как дедуктивная (доказательная) наука возникла в Древней Греции (начиная с VI в. до н. э.).
Математика не относится к естественным и гуманитарным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других идеальных объектов и записи этих свойств на формальном языке. Тем самым математика выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.
Математика обслуживает все остальные естественные науки. Сегодня, во всяком случае, математика существует как выделенная область, независимо от остальных наук и от своих приложений.
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутренних математических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и теория алгоритмов относятся как к инженерии, так и к математическим наукам.
Математика как учебная дисциплина подразделяется в России на элементарную математику, изучаемую в средней школе, и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Высшая математика, изучаемая на математических специальностях, содержательно и методически отличается от неё.
Исторически элементарной называют ту математику, которая была создана как математика постоянных величин за период от VI–V веков до н. э. до конца XVI века н. э. А период высшей математики от начала XVII века до середины XIX века — это период создания математики переменных величин.
Математика отличается от других наук тем, что её конечные выводы безусловны. Например, теории и концепции физики зависят от времени их возникновения, от личности установившего их учёного, от условий эксперимента и многих других обстоятельств. Математические высказывания существуют сами по себе: важна лишь логическая безупречность их вывода. В естественных науках то и дело происходит смена научных подходов: вещи начинают видеться в совершенно новом свете, старые представления отменяются или принципиально уточняются. В математике такого не бывает. Доказанное математическое утверждение всегда остаётся верным. Новая теория может лишь добавить к нему нечто новое.
Многие люди думают, что математика — это всего лишь арифметика, то есть изучение чисел и действий над ними. На самом деле математика — это намного больше. Это способ описать мир и то, как одна его часть сочетается с другой. Взаимоотношения чисел выражаются в математических символах, которые описывают Вселенную, в которой мы живём.
Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, которого называли «королём математики» как-то сказал: «Математика — царица наук, арифметика — царица математики».
Слово «арифметика» происходит от греческого слова «ἀριθμός» — «число». Таким образом, арифметика — раздел математики, изучающий числа и действия над ними. Любой нормальный ребёнок может преуспевать в арифметике, потому что «ощущение числа» — это врождённая способность. Правда, для этого нужно приложить некоторые усилия и затратить немного времени.
Умение считать — это ещё не всё. Ребёнку необходимо уметь хорошо выражать свои мысли, чтобы понимать задачи и устанавливать связи между фактами, которые хранятся в памяти. Числа — это только часть особого математического языка, а лучший способ выучить любой язык — это применять его.
Метод математики — метод абстракции. По каким законам строится математика? Здесь нужно обратиться к законам мышления. Можно проследить следующую аналогию.
Детские игры, придуманные взрослыми, и различные научные теории строятся по одним и тем же законам нашего мышления. Эти законы применял ещё Аристотель, чтобы описать научные теории. Именно по ним строятся математические теории.
Проследим эти правила на следующем примере.
1. Сначала вводим первичные понятия без определений:
• Точка, прямая, плоскость, число, ...
2. Затем устанавливаем правила игры (аксиомы):
• Конь ходит буквой Г. Ладья — по горизонталям и вертикалям. ...
• Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Для каждого натурального числа существует следующее за ним натуральное число. ...
3. Опираясь на первичные понятия, определяются новые (производные) понятия:
• Шах, мат, рокировка, гамбит, ...
• Отрезок, луч, треугольник, окружность, нуль, ...
4. Доказываются свойства первичных и новых понятий — теоремы (при помощи аксиом и ранее доказанных теорем):
• Как играть, чтобы выиграть? Если в какой-то позиции возможен мат, то её можно написать и осуществить. Например, в эндшпиле король с поддержкой ладьи выигрывает против одинокого короля. Шахматная истина не зависит от доски и игрока. ...
• Доказуемо ли некоторое утверждение? Например, если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон. ...
Математические истины не зависят от личностей и языков. Аксиомы и теоремы чисто внешне имеют одну и ту же конструкцию «если ..., то ...». Но теоремы в математике доказываются. К ним добавляется вопрос: «Почему?» То есть, в математике требуется полноценная аргументация.
Знаменитый пример аксиоматической теории — главный труд Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» — начинается с определений и аксиом о мире (Что такое сила? Что такое масса? Каковы основные законы механики?). Из них выводится строго дедуктивным образом модель мира.
Во времена Ньютона математика эмпирически развивалась в ответ на необходимость решать возникавшие физические проблемы. Сам Ньютон открыл исчисление бесконечно малых как средство для описания и исследования движения небесных тел.
Сколько знаний математики нужно человеку? Нам правда нужны квадратные уравнения, графики функций и интегралы? Разве недостаточно уметь считать и знать таблицу умножения?
1. Математика полезна для решения конкретных задач реального мира. Начиная с вычислений в уме у прилавка магазина. Кончая долговременными экономическими планами: покупка дома и другое. Если ты не можешь оценить величину задолженности, это становится опасной азартной игрой.
2. Математика развивает интеллект. Решение математических проблем требует настойчивости и креативности.
3. Мир устроен на математических принципах. Кто хочет познать глубинную сущность мира, должен быть знаком с числами, геометрическими фигурами и вероятностью.
К сожалению, обучение в современной школе ограничивается лишь техническими приёмами вычислений. Ученики с такой подготовкой часто не прикасаются к сути математики.
«Математику уподобляют большому ветвистому дереву, которое систематически даёт новые побеги. Каждая ветвь дерева — это та или иная область математики».
Б. В. Гнеденко, советский математик, специалист по теории вероятностей и математической статистике.
«Так что же такое математика? Во-первых, это одна из древнейших наук. Во-вторых, это особый искусственный язык и аппарат оперирования этим языком. В-третьих, это особый мир, в основе которого лежит абстрактная модель особых свойств, главным образом количественных и пространственных форм окружающего мира, но и свои особые понятия, не имеющие аналогов во внешнем мире».
Л. М. Фридман, известный специалист в области педагогической и математической психологии.
#историяматематики #математика #арифметика #предметматематики #методматематики #языкматематики