Рождественская теорема Ферма
В истории математики есть много замечательных достижений и проблем, связанных с именем «великого дилетанта» математики — Пьера де Ферма (1601–1665), основоположника алгебраической теории чисел, юриста из Тулузы. Одним из них является замечательная «Рождественская теорема Ферма».
«Любое простое число p вида p = 4n + 1, где n — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел».
Иначе говоря, существуют натуральные числа x и y, такие что p = x² + y².
Другие названия этой теоремы — «Теорема Ферма — Эйлера», «Теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов».
5 = 1² + 2²
13 = 2² + 3²
17 = 1² + 4²
29 = 2² + 5²
37 = 1² + 6²
Это утверждение называют «Рождественская теорема Ферма», так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.
Вот чем занимаются математики в Рождество!
Историческая справка
Впервые это утверждение обнаружено у голландского математика Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательства не привёл. Через 20 лет в письме к Пьеру Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.
Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами (через 100 лет). Позднее доказательства, основанные на других идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский и Дон Цагир. То есть, оно оказалось не совсем очевидным.
Из «Рождественской теоремы Ферма» при помощи тождества Брахмагупты выводится более общее утверждение:
Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида 4n + 3 не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.
Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма–Эйлера.
Примечания
Метод бесконечного спуска — метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено. Был существенно развит Пьером Ферма.
Он часто используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме. Из предположения, что решение существует, доказывается существование другого решения, которое в некотором смысле меньше, тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего. Это вызывает противоречие с тем, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел есть наименьший элемент. Значит, предположение о существовании начального решения неверно.
Пример. Доказательство иррациональности квадратного корня из 2 можно провести с использованием метода бесконечного спуска. Для этого первоначально оно предполагается рациональным числом.
Тождество Брахмагупты–Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта, — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):
(a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² = (ac + bd)² + (ad − bc)²
О «Рождественской теореме Ферма», в том числе о её доказательствах, подробнее можно узнать в следующей литературе:
- Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
- Мерзон Г. Рождественская теорема Ферма и Крылатые квадраты Спивака // Квантик. — 2022. — №5 — С 14–22.
- Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — №3 — С 14–22.
- Dickson L. E. History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.