Пространственное обобщение теоремы Пифагора

Многие теоремы планиметрии имеют естественные обобщения в стереометрии. Что мы можем сказать по этому поводу о теореме Пифагора — одной из самых известных теорем математики?

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»

Оказывается, существует изящное пространственное обобщение этой теоремы — для прямоугольного тетраэдра (тетраэдра, у которого три двугранных угла при одной вершине прямые). Оно формулируется так:

«В прямоугольном тетраэдре квадрат площади грани, лежащей против прямого трёхгранного угла, равен сумме квадратов площадей трёх остальных граней».

Этот результат известен в литературе как «Теорема де Гуа». Её в 1783 году представил Парижской академии наук Жан-Поль де Гуа (Jean-Paul de Gua de Malves, 1713–1785), французский математик, профессор Королевского колледжа в Париже.

Однако известно, что этот результат был знаком и другим математикам задолго до него.

Так, Рене Декарт (1596–1650) упоминает аналогичный факт в рукописях, а Шарль Тинсо (Charles Tinseau d’Amondans, 1748–1822) приводит его в своём труде «Mémoire sur les surfaces du second degré» (1774).

Независимо от них, Иоганн Фульгабер (1622), а позднее и Мейер Гирш (Meyer Hirsch) в книге «Sammlung geometrischer Aufgaben» (1807) также исследовали этот вопрос.

В советской литературе этот результат встречается как «задача Мейера Гирша», в частности в книге Г. Н. Попова «Сборник исторических задач по элементарной математике» (1938, с. 57), где приводится одно из доказательств.

Мы считаем, что эта красивая задача является прекрасным примером для учебно-исследовательских работ учащихся в разделе «Различные доказательства одной теоремы». И предлагаем её вам в свою коллекцию.

Существует несколько способов доказательства этой теоремы:

1. Алгебраически-геометрический метод (с использованием формулы Герона и теоремы Пифагора).
2. Вычисление площадей граней (с применением теоремы о трёх перпендикулярах).
3. Векторный метод (через векторное произведение).
4. Координатный метод.
5. Метод проекций (с использованием свойств ортогональных проекций).

Приведём изящное и короткое доказательство методом проекций. Известно, что площадь ортогональной проекции плоской фигуры на некоторую плоскость равна площади этой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между фигурой и плоскостью проекции.

Для наглядности приведём прямоугольный тетраэдр (ABCD) как пирамиду, вырезанную около одной из вершин куба (D).

Для прямоугольного тетраэдра проекциями грани ABC на координатные плоскости являются грани ABD, ACD и BCD. Поэтому:

S(ABD) = S(ABC)cosα, S(ACD) = S(ABC)cosβ, S(BCD) = S(ABC)cosγ,

где α, β, γ — углы между гранью ABC и координатными плоскостями. По свойству направляющих косинусов (косинусов этих углов):

cos²α + cos²β + cos²γ = 1.

Почленно сложив квадраты площадей граней:

S²(ABC) = S²(ABD) + S²(ACD) + S²(BCD).

Q.E.D.

Попробуйте самостоятельно провести другие доказательства.

Педагогическое значение теоремы

Теорема де Гуа — прекрасный пример для демонстрации:

• Метода аналогий в математике (переход от 2D к 3D).
• Важности обобщений в математике.
• Связи между алгебраическими и геометрическими подходами.
• Исторического развития математических идей.

Как отмечают педагоги, изучение таких аналогий между планиметрией и стереометрией помогает студентам лучше понимать пространственную геометрию.